Steckbriefaufgabe: ganzrationale Funktion vierten Grades

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist, durch den Koordinatenursprung geht und die x-Achse an der Stelle 3 schneidet. Die Steigung an dieser Nullstelle beträgt -48

Problem/Ansatz:

f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e

da Funktion achsensymmetrisch → nur gerade Exponenten

f(x)=a*x^4+c*x^2+e

Nullstelle: (0/3)

f'(N)= -48

wie muss ich weiterrechnen, fehlt mir nicht noch eine Bedingung? Und ist es soweit richtig?

LG

Answer 1

f(0)=0

f(3) =0

f '(3) = -48

Answer 2

Aloha :)

Du kannst noch mehr aus den gegebenen Informationen rausholen

"Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vierten Grades":

$$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$"deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist" \(\Rightarrow\;b=0\,,\,d=0\):

$$y=ax^4+cx^2+e$$"durch den Koordinatenursprung geht" \(\Rightarrow\;y(0)=0\;\Rightarrow\;e=0\):

$$y=ax^4+cx^2=x^2(ax^2+c)$$Übrig bleibt die Nullstelle \(N(3;0)\) und die Steigung \(-48\) in diesem Punkt:

$$0=y(3)=3^2(a\cdot3^2+c)=9(9a+c)\quad\Rightarrow\quad9a+c=0$$$$y'(x)=4ax^3+2cx$$$$-48=f'(3)=4a\cdot3^3+2c\cdot3=108a+6c\quad\Rightarrow\quad18a+c=-8$$Wir haben also 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:

$$\begin{array}{c}9a+c&=&0\\18a+c&=&-8\end{array}$$Die Lösung ist \(a=-\frac{8}{9}\) und \(c=8\). Die Gesuchte ist daher:

$$y=-\frac{8}{9}x^4+8x^2$$

Answer 3

Ich bekomme folgende Bedingungen

f'(0) = 0 → Linearer Koeffizient ist Null
f'''(0) = 0 → Kubischer Koeffizient ist Null
Beides Zusammen ist hier nötig für die Achsensymmetrie.

f(0)=0 → Funktion geht durch den Ursprung
f(3)=0 → Hat eine Nullstelle bei 3
f'(3)=-48 → Und hat in dieser Nullstelle die Steigung -48

Ich empfehle zum selber Probieren um Erfahrungen zu sammeln die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Die kann dich sehr bei ähnlichen Aufgaben unterstützen.