Wie bestimme ich eine Funktion mithilfe einer Taylorreihe und einer Anfangswertaufgabe.

Question

Ich bin mit meinen Mathe Übungen für das kommende Semester bei der Taylorreihe angekommen und stehe vor einer Aufgabe bei der ich nicht weiter weiß.

Aufgabe:

Gesucht ist jetzt eine Funktion , die folgende Anfangswertaufgabe löst:

f´´(x)+f´(x)-2f(x)=0 ; f(0)=1 , f´(0)=0

Nutzen Sie zur Berechnung der Funktion den Ansatz

$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)$$

wobei die Koeffizienten durch eine Taylor-Reihe gegeben sind. Für den n-ten Koeffizienten
gilt also

$$a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$

a) Welcher Entwicklungspunkt x₀ eignet sich aufgrund der Anfangswertaufgabe für
die Taylor-Reihe? Bestimmen Sie daraus die Werte für a₀ und a₁
b) Wie lauten die Potenzreihenentwicklungen für f´(x) und für f´´(x)? Achten Sie darauf, dass alle Reihen mit n=0 beginnen. (Indexverschiebung)

c) Bestimmen Sie aus der Differentialgleichung und aus den Ergebnissen von b) eine
Rekursionsformel für  a_n+2 wenn a_n+1 und a_n gegeben sind.
d) Rechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsformel a₂ und a₃ aus.

Also Anfangs habe ich gedacht f(x)=cos(x) da ja der cos(0)=1 aber mit den Ableitungen kann das nicht hinhauen. Dann habe ich es mit der Taylorreihe versucht und als x₀=0 gewählt, weil das mit den gegebenen Werten f(0)=1 , f´(0)=0 passt aber dann bleibe ich bei f´´(0) stehen.

Für b) mit der Potenzreihen Entwicklung wird ja der tipp der Indexverschiebung gegeben, deswegen dachte ich man nimmt nicht a_n sondern da wir mit der ersten Ableitung anfangen aber n=0 sein soll muss man a_n+1 und in der Formel n durch n+1 ersetzen.

Bei c) mit der Rekursionsformel geht es soweit ich das weiß darum eine Formel zu finden mit der ich a_n+2 mithilfe von a_n+1 berechnen kann. Also mit der Berechnung von davor ein neuen a_n zu berechen. Dann ist d) auch nur stumpfes ausrechnen.

Answer 1

Hallo

1. Umstellen nach f''=

2. der Anfang der TR  um x_0=0 ist bekannt f(0), f'(0) daraus f''(0) jetzt differenziere f'''=-f''+2f' wieder f'''(0) bestimmen jetzt f'''' usw. man sieht das Bildungsgesetz.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort.

An das Umstellen der Gleichung f´´(x)+f´(x)-2f(x)=0 habe ich echt nicht gedacht und das mit Potenzreihen habe ich auch verstanden, denn es sind unendliche Reihen wodurch die Gleichung f'''=-f''+2f' von der ersten hergeleitet funktioniert. Aber ich verstehe nicht was mir das für die weiteren Aufgaben bringt.

Answer 2

dass bei a) der Entwicklungspunkt x_=0 ist, sieht man ja bei den Anfangswerten.

Zu b)

Für b) mit der Potenzreihen Entwicklung wird ja der tipp der Indexverschiebung gegeben, deswegen dachte ich man nimmt nicht an sondern da wir mit der ersten Ableitung anfangen aber n=0 sein soll muss man an+1 und in der Formel n durch n+1 ersetzen.

Vollkommen richtig. Und das machst du dann genauso für f'', sodass auch dort bei n=0 gestartet wird.

Zu c) Du setzt dann deine Potenzreihen in die obige Differentialgleichung ein, vereinfachst ein bisschen. Mittels Koeffizientenvergleich kommst du dann auf die Rekursionsformel.

Comments

Vielen Dank du hast mir gut geholfen.

Ich habe nur eine Frage wegen der Rekursionsformel, denn ich ersetze ja f(x),  f´(x) und f´´(x) in der Gleichung f´´(x)+f´(x)-2f(x)=0 und soll dann für a_n+2 die Rekursionsformel bestimmen. Da alle das Gleiche Summenzeichen haben würde ich erstmal alles für die Summe zusammenfassen. Jetzt habe ich aber ein kleines Problem, denn a_n+2 und a_n+1 sind ja in der Summe von a_n enthalten und ich subtrahiere a_n von den beiden deswegen weiß ich nicht weiter. Vielleicht denke ich auch in eine falsche Richtung.

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In deiner Summe steht ja das hier oder?

$$ (k+2)(k+1)a_{k+2}+(k+1)a_{k+1}-2a_k $$

Damit machst du einen Koeffizientenvergleich, d.h du bekommst so deine Rekursionsformel für deine Koeffizienten hin.

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Also ich bin soweit falls dir das hilft. Zuerst habe ich mir die Summen genommen aus b)

$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n \cdot (x-x_0)^n} $$

$$ f´(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1} \cdot (x-x_0)^{n+1}} $$

$$ f´´(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+2} \cdot (x-x_0)^{n+2}} $$

Dann habe ich sie in  die Formel  f´´(x)+f´(x)-2f(x)=0 eingesetzt

$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+2} \cdot (x-x_0)^{n+2}} + \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1} \cdot (x-x_0)^{n+1}}  -2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{a_n \cdot (x-x_0)^n} =0$$

 Da aber die Summen gleich sind habe ich das so zusammengefasst

$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+2} \cdot (x-x_0)^{n+2} + a_{n+1} \cdot (x-x_0)^{n+1} - 2 \cdot a_n \cdot (x-x_0)^n} =0$$

Jetzt würde ich umformen aber da weiß ich nicht wie.

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Also bei deinen Ableitungen ist was ganz schön schiefgelaufen, zumal du dir hier das x_0 sparen kannst, da x_0=0 gilt. Die erste Ableitung sieht so aus:

$$ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $$ Mit Indexverschiebung kommt man dann auf $$ \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot a_{n+1}\cdot x^n $$

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Meine Schuld habe mir das anders gedacht bei b). Dachte das ich die Potenzreihe von f(x) für f´(x) ab n= weiterlaufen lasse :(

Dann verstehe ich auch deine Formel(k mit n):

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}-2a_n$$

Und das würde zu

$$a_{n+2}=\frac{2a_n-a_{n+1}}{(n+2)}$$

Denn die Koeffizientenvergleiche die ich bis jetzt gemacht habe war nur zwischen Polynomen und nicht DGL´s.

Und da wir f(x₀) schon kennen könnte ich dann damit auch a₂ und a₃ ausrechnen.

Wobei ich bei der Taylorriehe verwirrt bin beim abschnitt

$$ \frac{f´(x_0)}{1!}$$ wenn f´(x₀)=0 ist.

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Deine Rekursionsformel ist nicht ganz richtig. NICHT in Summen kürzen!

Richtig lautet sie also:

$$ (n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}-2a_n=0\\[20pt] \Leftrightarrow a_{n+2}=\frac{2\cdot a_n-(n+1)\cdot a_{n+1}}{(n+2)\cdot (n+1)} $$

Das was du jetzt mit der Summe als Endversion bekommen hast, ist ein Polynom, mit 0 gleichgesetzt. Nun kann man diesen Koeffizientenvergleich auch erstmal schrittweise angehen und so die Koeffizeinten einzeln berechnen. Ich führe mal vor, was ich meine:

$$ 0=\sum_{k=0}^\infty ((n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}-2a_n)\cdot x^n\\=((0+2)(0+1)a_{0+2}+(0+1)a_{0+1}-2a_0)\cdot x^0\\+((1+2)(1+1)a_{1+2}+(1+1)a_{1+1}-2a_1)\cdot x^1\\+((2+2)(2+1)a_{2+2}+(2+1)a_{2+1}-2a_2)\cdot x^2+...\\=(2a_2+a_1-2a_0)+(6a_3+2a_2-2a_1)x+(12a_4+3a_3-2a_2)x^2+...=0x^0+0x^1+0x^2+...$$

Also ist jeder Term $$ (n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}-2a_n=0 $$

Also :

$$ (i)\quad  2a_2+a_1-2a_0=0\\(ii)\quad  2a_3+a_2-2a_1=0\\(iii)\quad  2a_4+a_3-2a_2=0\\ \vdots $$

Für (i) kennen wir ja schon a_0 und a_1, um damit a_2 zu berechnen. Damit können wir mit a_1 auch a_3 berechnen, usw...

Das ganze ist ein rekursiver Prozess und lässt sich durch $$ a_{n+2}=\frac{2\cdot a_n-(n+1)\cdot a_{n+1}}{(n+2)\cdot (n+1)},\quad a_0=1 \quad a_1=0 $$ beschreiben.

Und so berechnest du die Koeffizienten $$ a_n , $$ der Potenzreihe, welche bei der Taylorreihe so beschrieben werden $$ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} $$

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Vielen Dank das hat mir echt geholfen.