Mehrdimensionale Integrale: Intervalle über gegebene Ungleichungen bestimmen

Question

Ich habe Probleme mit folgendem Aufgabentyp.

Das Volumen der Menge B:={(x,y,z)∈R³: 0 <= z <= π, x²+y² <= sin²(z)} soll bestimmt werden.

Mir ist klar, dass ich die Intervalle von x,y,z bestimmen muss, damit ich das 3-fache Integral bestimmen kann, um somit auf das Volumen zu kommen.

z∈[0,π] ist für mich schnell ersichtlich, doch wie komme ich auf das Intervall von x und z?

Danke und VG

Answer 1

Das Volumen der Menge $$B:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: 0 \leq z \leq \pi, x^2+y^2 \leq \sin^2(z)\}$$ ist gleich das Dreifach-Integral über B.

Wir haben folgendes:

$$0 \leq z \leq \pi$$
$$x^2+y^2 \leq \sin^2(z)\Rightarrow x^2\leq \sin^2(z)-y^2\Rightarrow -\sqrt{ \sin^2(z)-y^2}\leq x\leq \sqrt{ \sin^2(z)-y^2}$$
Sodass die Quadratwurzel definiert ist muss der Ausdruck darunter größer oder gleich Null sein: $$\sin^2(z)-y^2\geq 0\Rightarrow y^2\leq \sin^2(z)\Rightarrow -\sin (z)\leq y\leq \sin (z)$$ 

Wir bekommen also $$\iiint_B\, dx\, dy\, dz=\int_0^{\pi} \int_{-\sin (z)}^{\sin (z)} \int_{-\sqrt{ \sin^2(z)-y^2}}^{\sqrt{ \sin^2(z)-y^2}}\, dx\, dy\, dz $$

Answer 2

das löst du am besten in Polarkoordinaten:

0<=z<=pi ist bereits gegeben.

x^2+y^2=r^2<=sin^2(z)

---> r<=|sin(z)|

Da z zwischen 0 und Pi liegt ist |sin(z)|=sin(z)

0<=r<=sin(z)

Über dem Winkel Phi ist keine Einschränkung gemacht, daher

 0<=phi <=2pi