Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert: 1 / (3+(-1)^n)^n

Question

$$\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 3 + ( - 1 ) ^ { \wedge } n ) ^ { \wedge } n }$$

und berechnen Sie ihren Wert.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, wäre sehr dankbar dafür

Answer 1

Nehmen wir an n ist gerade, dann lässt sich der Term vereinfachen zu

1/4^n für n = 0, 2, 4, ...

1/16^n für n = 0, 1, 2, ...

und die Summe geht gegen  16/15.

 

Nehmen wir an n ist ungerade, dann lässt sich der Term vereinfachen zu

1/2^n für n = 1, 3, 5, ...

1/2*1/2^n für n = 0, 2, 4, ...

1/2*1/4^n für n = 0, 1, 2, ...

hier geht die Summe gegen 1/2 * 4/3 = 4/6 = 2/3

 

Die Summe dieser beiden Reihen sollte daher gegen 16/15 + 2/3 = 26/15 gehen.

Answer 2

Eine kleine Ergänzung noch zur Konvergenz.

Wenn man die ersten Glieder sich hinschreibt folgt:

s_n = 1 + 1/2 + 1/4² + 1/2³ + 1/4⁴ + 1/2⁵ + 1/4⁶ + ..

Die Folge 1/(3 + (-1)ⁿ)ⁿ ist eine monoton fallende (s_n+1 < s_n) Nullfolge. Nach dem Leibnizkriterium liegt eine konvergente Reihe vor.

 

Numerisch ergibt sich ein Grenzwert der Reihe von 1,7333333, Deckt sich mit dem Ergebnis vom Mathecoach .-)