Divergenz einer reihe nachweisen

Question

Aufgabe:

Divergenz der Reihe

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2 n^{2}+5} \)

Soll nach gewiesen werden
Problem/Ansatz:

Ich habe das quotientenkriterium versucht, nur da kam halt =1 raus, minorantenkriterium habe ich nicht hinbekommen...

Answer 1

Aloha :)

Fast alle kennen das Nullfolgen-Kriterium als notwendige Voraussetzung für die Konvergenz einer Reihe. Nach dem Satz von Olivier muss aber auch die Folge \((n\cdot a_n)\) gegen Null konvergieren, damit die Reihe konvergiert. Das ist hier offensichtlich nicht der Fall:$$n\cdot a_n=\frac{n^2}{2n^2+5}=\frac{1}{2+\frac{5}{n^2}}\to\frac{1}{2}\ne0$$

Alternativ dazu kannst du auch abschätzen:$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n}{2n^2+5}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{2n^2+5}\ge\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{7n^2}=\frac{1}{7}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$

Comments

Du hast n=1 gesetzt, ursprünglich war es auf n=0, darf man das?

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Ja, das war Absicht, damit ich nicht durch 0 dividiere. Das ist auch erlaubt, weil der erste Summand 0 ist:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n}{2n^2+5}=\underbrace{\frac{0}{2\cdot0^2+5}}_{=0}+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{2n^2+5}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{2n^2+5}$$

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Ah ok alles klar danke