Durchführung einer Hauptachsentransformation

Question

wie führe ich bei folgender Abbildung f: ℝ^2 → ℝ mit f(x,y) = 3x^2 + 4xy + 3y^2 eine Hauptachsentransformation durch?

Answer 1

schreib das erstmal als Matrixabbildung:

$$\vec{x}^TA\vec{x}=(x,y)\begin{pmatrix}  a & b \\ b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}\\ =(x,y)\begin{pmatrix} ax+bx\\by+cy\end{pmatrix}\\ =ax^2+2bxy+cy^2=3x^2+4xy+3y^2\\ \to a=d=3,b=2\\ A=\begin{pmatrix}  3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

Jetzt kannst du die Eigenwerte und Eigenvektoren nach Schema x berechnen und damit die Matrix diagonalisieren.

Comments

kurze Frage dazu:

wie kommst du auf die erste Zeile, also, dass die Abbildung als x^T Ax mit A symmetrisch ist. Wenn mir das jemand erklären könnte, habe ich es verstanden.

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Wenn du den allgemeinen Ansatz machst, dann lassen sich der Eintrag oben rechts und unten links nicht eindeutig voneinander bestimmen. Sie sind dann voneinander abhängig. Im einfachsten Falle wählt man sie dann gleich.

Die Funktion soll ja vermutlich eine quadratische Form darstellen, siehe hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4re_quadratische_Form#Matrixdarstellungen