Wahrscheinlichkeit; Würfel

Question

Würfel hat statt den Augenzahlen 1 bis 6, zweimal die Augenzahlen 1 bis 3. X bezeichnet die geworfene Augensumme beim zweimaligen Werfen des Würfels.

a) Erwartungswert

b) Varianz

c) Standardabweichung

Ist die WS 1/3 * 2?

Answer 1

Stelle eine Tabelle auf:$$\begin{array}{r|r|r} \text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = x_i) & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} &  \end{array}$$ Der Erwartungswert berechnet sich aus:$$E(X)=\sum_{i}^{}{x_i\cdot P(X=x_i)}$$ Daraus folgerst du diese Rechnung:$$E(X)=\frac{1+2+3}{3}=2$$ Die Varianz kannst du nun mit dem Verschiebungssatz ermitteln:$$Var(X)=\sum_{i}^{}{x^2_i\cdot P(X=x_i)-(E(X))^2}$$$$Var(X)=\frac{1^2+2^2+3^2}{3}-2^2=\frac{2}{3}$$ Die Standardabweichung ist einfach nur die Quadratwurzel aus der Varianz, sprich:$$\sigma=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}≈ 1.225$$ Da wir nun zwei Würfe haben gilt:$$E(X)=2\cdot 2$$$$Var(X)=2\cdot \frac{2}{3}$$$$\sigma=\sqrt{2\cdot \frac{2}{3}}$$

Comments

Bitte genau lesen

X bezeichnet die geworfene Augensumme beim zweimaligen Werfen des Würfels.

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Der Würfel wird zweimal geworfen und die Augensumme betrachtet. Die Rechnung muss also noch irgendwie weitergehen.

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pas de problème.

Bei zwei Würfen gilt:

2*E(X)=4

2*Var(X)

sqrt(2*Var(X))

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Cool!                                      .

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Schon krank!

Answer 2

Wahrscheinlichkeitverteilung der Augenzahl bei einem Wurf

xi	1	2	3
P(X = xi)	1/3	1/3	1/3

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme bei zwei Würfen

yi	2	3	4	5	6
P(Y = yi)	1/9	2/9	3/9	2/9	1/9

Erwartungswert

E(Y) = 2·1/9 + 3·2/9 + 4·3/9 + 5·2/9 + 6·1/9 = 4

Varianz

V(Y) = 2^2·1/9 + 3^2·2/9 + 4^2·3/9 + 5^2·2/9 + 6^2·1/9 - 4^2 = 4/3

Standardabweichung

√(4/3) = 1.155

Comments

Es geht auch einfacher, Wenn man Y = 2 * X betrachtet und dann die Rechenregeln für Erwartungswerte und Varianzen beachtet.

Ich habe das hier nicht gemacht, weil sowas erst im Studium auftritt und noch nicht im Abitur. Ich habe die Aufgabe also auf Abiturniveau gelöst.