Eigenwerte von 2A + I_(3) bestimmen

Question

oben ist eine alte Klausuraufgabe. Mir ist leider diese Aufgabe noch etwas unklar. Wie man Eigenwerte, char. Polynom etc. bestimmt ist mir soweit klar, nur die oben geschriebene Form 2A + I verwirrt mich etwas bzw. was jetzt der Vorfaktor 2 vor A mit den Eigenwerten machen soll. Laut Musterlösung sollen die Eigenwerte -3,-1,5 sein. Vielleicht kann mir da ja jemand auf die Sprünge helfen.

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Vom Duplikat:

Titel: Einfluss von Skalarmultiplikation und Matrix Addition auf Eigenwerte

Stichworte: eigenwerte,matrix,matrixgleichung

es geht speziell um einen bestimmten Fall. Ich habe bereits die Eigenwerte zu einer Matrix A gegeben (in unserem Fall vielleicht λ1 = -1 λ2= -2 λ3=2. Nun ist die Frage wie lauten dann die Eigenwerte der von: 2*A + I3.

Für ein Skalar Alpha st es ja noch relativ offentsichtlich mit: (αA)v=Aαv=(λα)v
Wenn ich jetzt aber die Einheitsmatrix dazu nehme, dann kann ich ja nicht einfach sagen die Einheitsmatrix wird zu +1 oder?

Intuitiv ist klar, dass mal 2*λ + 1 rechnet, was ja auch richtig ist, nur wie kommt man auf diese Rechenvorschrift?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Die EWs von A kannst du am charakteristischen Polynom ablesen. Wenn t ein EW von A ist, dann ist 2t+1 ein EW von 2A+I₃.

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oh man, da hast du recht. Ich Depp...

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Kannst du mir vielleicht nochmal erläutern wie man das herleiten kann? Also es ist logisch aber ich würde gerne wissen warum das so ist.

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Jeder Vektor v ist Eigenvektor zur Einheitsmatrix. Jetzt nimmt du die Eigenvektoren x von A und rechnest

(2A+I)x=2Ax+x =(2λ+1)x, wobei λ der Eigenwert zu x ist.