Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen berechnen

Question

a) f(x)=x^3+x^2, g(x)=x^2+x

I= [-2;1]

b) f(x)=3x, g(x)=x^3-x

I= [-1;2]

Man soll die Fläche zwischen f(x) und g(x) ermitteln, mit Hilfe von Schnittpunkten. Schnittpunkte ausrechnen und die Fläche zwischen den Intervallen.

Answer 1

wen du die Fläche meinst, die von beiden Kurven auf den Intervall I eingeschlossen wird, muss du das machen:

Der Hauptansatz ist eine Differenzenfunktion d=f-g.

Prüfe zuerst, ob dich die Kurven auf I schneiden. Ansatz dafür d=f-g=0, also f=g und damit die Nullstellen bestimmen. Gibt es Nullstellen auf I, so musst du dein Integral in Teilintegrale aufteilen und einzeln berechnen. Die jeweiligen Intervallgrenzen sind dann die Nullstellen.

Gibt es auf I keine Nullstellen, kannst du direkt mit einem Integral die Fläche berechnen.

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Und wie rechnet man die jeweiligen Schritte? Ich brauch die Lösungen ganz bis morgen und habe auch gar keine Zeit, mir da etwas anzugucken! Es wäre wirklich lieb, denn meine bisherigen Lösungsansatze waren alle falsch und haben keinen Sinn ergeben.

Answer 2

a) f(x)=x^{3}+x^{2}, g(x)=x^{2}+x, I=[-2;1]

0=f(x)-g(x)
0=x^{3}-x
0=x*x^{2}-1
0=x*(x-1)*(x+1)
x=-1 oder x=0 oder x=1

Das sind die drei Schnittstellen von f und g.
Nur die beiden ersten werden benötigt, denn
die liegen im Inneren von I.

$$A=\left|\int_{-2}^{-1}\left(x^{3}-x\right)\text{ d}x\right|+\left|\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right)\text{ d}x\right|+\left|\int_{0}^{1}\left(x^{3}-x\right)\text{ d}x\right|=\dots$$Ist das soweit nachvollziehbar und kommst du damit zurecht?

Answer 3

Hallo Aysu,

wie Hallo97 schon geschrieben hat, ermittelst du die Schnittpunkte, indem du die beiden Gleichungen gleichsetzt, also

x^3 + x^2 = x^2 + x

Auflösen ergibt drei Schnittstellen, und zwar bei -1, 0 und 1. Du hast also drei Intervalle zu berechnen, und zwar von -2 bis - 1 (= 2,25), von -1 bis 0 und von 0 bis 1 (jeweils 0,25). Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

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Hier stimmt was nicht.

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Ja, danke, habe ich korrigiert.