Fläche zwischen zwei Graphen gegeben - Integralgrenze bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/3x^3-1/2x^2-2x+4 und

g(x)=-1/2x^2+x+4.

Diese beiden bilden im ersten Quadranten eine eingeschlossene Fläche, welche von x=u geschnitten wird und 27/8 beträgt.

Gesucht ist nun x bzw. u

Wichtig dabei ist, dass 0 < u <3!

Problem/Ansatz:

Integralgrenzen sind m.M.n 0 (haben Schnittpunkt bei 0/y) und eben u.

Hatte erst einmal die Differenzfunktion gebildet d(x)= 1/3x^3-3x - danach die Stammfunktion F(x)= 1/12 x^4-3/2x^2.

Diese gleichgesetzt mit der Flächenformel beim Integral:

27/8= F(u)-F(0)   // 0 weglassen

27/8= 1/12 u^4-3/2 u^2

dies nach u aufgelöst und 4,5 herausbekommen.

Dies kann jedoch nicht sein, wenn u nicht größer als drei sein darf!

Bitte um Hilfe !!

Comments

Glaube, ich habe es: Falsche Differenzfunktion

---

Die Aufgabe ist wahrscheinlich falsch abgeschrieben, weil die Fläche

den Inhalt 27/4 hat. Es ist unklar, was u sein soll.

Vielleicht so, dass es die Fläche halbiert? Dann wäre \( u=3 \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} \) ≈ 1,6235883

Answer 1

$$  F(u) = \int_0^u (g(x) - f(x)) dx = \frac{27}{8}  $$ Daraus folgt $$ u = 3 \sqrt{ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}  }  $$

Answer 2

Zum Berechnen des Flächeninhalts müssen die Schnittstellen bestimmt werden.

$$ f(x)=1/3x^3-1/2x^2-2x+4 ; g(x)=-1/2x^2+x+4$$

$$ 1/3x^3-1/2x^2-2x+4 =-1/2x^2+x+4$$

$$ 1/3x^3-3x =0$$

$$ \frac{1}{3}x(x^2-9)=0$$

$$ a=x_1=0 ; b=x_2=3 ; (x_3=-3)$$

Nun noch das Integral der Differenzfunktion bilden → \(A=\dfrac{27}{4}\).

--------------------

Der Fehler in der Aufgabenstellung ist die falsche Angabe des Flächeninhalts mit 27/8 statt 27/4.