Wie geht die vollständige Funktionsuntersuchung dieser Ganzrationalen Funktion?

Question

f(x)=-2x^3+3x^2-5x wie geht eine vollständige Funktionsuntersuchung anhand dieser Aufgabe?

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Vom Duplikat:

Titel: Es geht um ganzrationale Funktionen, die wir untersuchen müssen und dazu jeweils 2 Aufgaben.

Stichworte: ganzrationale-funktionen

kann mir jemand die Lösungen zu den Aufgaben sagen? Ich komme absolut nicht drauf und würde sie brauchen um alles ein bisschen besser nachzuvollziehen.

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Guten Morgen Aurelia,

Stelle bitte für jede Aufgabe eine extra Frage. Das sind teilweise ohnehin schon große Fragen und ein mögliches Aufsplitten auf mehrere Helfer bietet sich an. Zumal es der Übersicht für nachfolgende Leser dient.

Bitte keine Bilder hochladen, wenn es sich um reinen Text handelt. Nach den Schreibregeln ist das abzuschreiben.

Ich mach hier mal zu, damit es keine Doppelposts gibt und Du die neuen Fragen stellen kannst :).

Answer 1

Kurvendiskussion: f(x) = - 2·x^3 + 3·x^2 - 5·x


Funktion und Ableitungen
f(x) = - 2·x^3 + 3·x^2 - 5·x
f'(x) = - 6·x^2 + 6·x - 5
f''(x) = - 12·x + 6

Symmetrie
Keine Untersuchte Symmetrie, weil sowohl gerade als auch ungerade Exponenten von x vorhanden sind.

Grenzwerte im Unendlichen
lim (x → - ∞) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = - ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0
- 2·x^3 + 3·x^2 - 5·x = - x·(2·x^2 - 3·x + 5) = 0 --> x = 0
2·x^2 - 3·x + 5 = 0 --> Keine weiteren Nullstellen

Extrempunkte f'(x) = 0
f'(x) = - 6·x^2 + 6·x - 5 = 0 --> Keine Extrempunkte

Wendepunkte f''(x) = 0
f''(x) = - 12·x + 6 = 0 --> x = 0.5
f(0.5) = - 2 --> Wendepunkt W(0.5 | - 2)

Comments

Skizze solltest du selber machen

Wenn ihr noch Definitionsmenge und Wertemenge in die Vollständige Kurvendiskussion mit hinein nimmt, dann solltest du das auch noch angeben.

Bei Polynomfunktionen kann auf die Angabe der Definionsmenge verzichtet werden, da diese immer R ist. Angabe einer Wertemenge kann sinnvoll sein. Allerdings auch nur, wenn die Grenzwerte nicht plus und minus Unendlich sind.

Answer 2

Extrempunkte. Nullstellen der Ableitung bestimmen. In die zweite Ableitung einsetzen. Ist das Ergebnis negativ, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist es positiv, dann handelt es sich um einen Tiefpunkt. Ist das Ergebnis Null, dann mit Vorzeichenwechselkriterium herausfinden, ob es sich um Hoch-, oder Tiefpunkt handelt.

Wendepunkte. Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen. In die dritte Ableitung einsetzen. Ist das Ergebnis negativ, dann geht die Funktion am Wendepunkt von einer Links- in einer Rechtskrümmung über. Ist es positiv, dann dann geht die Funktion am Wendepunkt von einer Recht- in einer Linkskrümmung über. Ist das Ergebnis Null, dann mit Vorzeichenwechselkriterium herausfinden, ob es sich um einen Wendpunkt handelt.

Globalverlauf. Der Leitkoeffizient -2 ist negativ, deshalb ist lim_x→∞ f(x) = -∞ (bei positivem Leitkoeffizieten wäre lim_x→∞ f(x) = ∞).  Der Grad 3 ist ungerade, deshalb ist lim_x→-∞ f(x) = - lim_x→∞ f(x) = ∞ (bei geradem Grad wäre lim_x→-∞ f(x) = lim_x→∞ f(x)).

Answer 3

f(x)=-2x³+3x²-5x

1. Nullstellen: x ausklammen und 0 setzen: x(-2x²+3x-5)=0. Dann ist x=0 oder -2x²+3x-5=0. Quadratische Gleichung lösen.

2. Stellen der Extrema: Erste Ableitung 0 setzen -6x²+6x-5=0. Quadratische Gleichung lösen.

3. Stelle des Wendepunktes: Zweite Ableitung 0 setzen -12x+6=0 oder x=1/2.

4. Funktionwerte an den Stellen von 2. und 3. Dann wird auch klar, wo Maxi- uder Minimum liegen.