Funktion f(x) = ((x^3 - 2)^8)*(x^2)

Question

Ich soll

a) die Integrationskonstante jener Stammfunktion von f(x) bestimmen , sodass diese Stammfunktion durch den Ursprung geht

und

b) Den Wert der ersten Ableitung fon f(x) an der Stelle x=1 bestimmen .

Ich habe zumindest einmal die erste Ableitung \( \frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \), die sieht bei mir so aus:

\( \frac{\left(8 *\left(x^{3}-2\right)^{7} * 3 x^{2}\right) *\left(x^{-2}\right)-\left(x^{3}-2\right)^{8} *\left(-2 * x^{-3} * 1\right)}{\left(x^{-2}\right)^{2}} \)

Answer 1

Die Funktion f ( x ) lautet, wenn ich mir deine Ableitung ansehe, also vermutlich:

f ( x ) = ( x ³ - 2 ) ⁸ * x ^{minus 2} 

Aber warum verwendest du denn hier die Quotientenregel? Einfacher ist es doch mit der Produktregel.

Und den Term x ^{- 2} kann man dabei doch auch mit der Potenzregel ableiten: -2 * x ^{- 3}
Also: 

f ' ( x ) = 3 x ² * 8 * ( x ³ - 2 ) ⁷ * x ^{- 2} + ( x ³ - 2 ) ⁸ * ( - 2 ) x ^{- 3}

= 24 ( x ³ - 2 ) ⁷ - 2 * ( x ³ - 2 ) ⁸  * x ^{- 3}

[Das kann man nun noch ein wenig vereinfachen. Zunächst Ausklammern von ( x ³ - 2 ) ⁷ * x ^{- 3} :]

= ( x ³ - 2 ) ⁷ * x ^{- 3} * ( 24  x ³ - 2 * ( x ³ - 2 ) )

= ( x ³ - 2 ) ⁷ * x ^{- 3} * ( 22 x ³ + 4 )

=  ( x ³ - 2 ) ⁷ * ( 22 x ³ + 4 ) / x ³

f ' ( 1 ) = - 26

 

Nun zu Aufgabe a)

Die Stammfunktion von f ( x ) ist laut WolframAlpha:

256/x - 512 x^2 + (1792 x^5)/5 - 224 x^8 + (1120 x^11)/11 - 32 x^14 + (112 x^17)/17 - (4 x^20)/5 + x^23/23 + C

Diese hat wegen des ersten Summanden 256 / x bei x = 0 eine Unstetigkeitsstelle, kann also nicht vertikal so verschoben werden, dass ihr Graph durch den Ursprung verläuft.

Bist du sicher, dass du die Aufgabenstellung richtig widergegeben hast?

Comments

Vorab einmal vielen Dank für deine Hilfe ... ich muss mir das ganze nochmal durchdenken und abwarten was mein Kollege dazu sagt . ich weiß nicht warum ich mir hier immer so schwer tue , ich verstehe andere Beispiele oft ja auch recht schnell .

ja doch , ich habs nochmal nachkontrolliert , die Aufgabenstellung sieht so aus .

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als blankes Lösungergebnis für a steht
"18,962962..." da und für b soll "-22" herauskommen

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achso nein , die erste Ableitung ist ja von mir berechnet ... ist die etwa falsch ? Weil ich dachte mir , dass ich aus ((x^3-2)^8)*x^2 das x^2 einfach "runterschieben" könnte und stattdessen ein "hoch minus 2 daraus mache" . ok gut , wahrscheinlich lieg ich falsch ...hmmm

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bei b komme ich auch auf -22  ... gut , immerhin

allerdings wie gemeint über \( 3 x^{2} \cdot 8 \cdot\left(x^{3}-2\right)^{7} \cdot x^{2}+\left(x^{3}-2\right)^{8} \cdot 2 x \) und für x eins einsetzen

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Wolfram Alpha sagt bei mir nämlich auch 18,96...
\( \int \limits_{0}^{\sqrt[3]{2}} x^{2}\left(-2+x^{3}\right)^{8} d x=\frac{512}{27} \approx 18.963 \)
aber ich verstehe nicht "warum" und wie das gemeint ist . ich meine , ich muss ja irgendwie "wissen" , dass die funktion zwar durch den ursprung geht , aber nach anschließenden aufstieg wieder runterkommt auf die x achse ... Wie weiß ich sowas denn vorab ? ich kann mir das ja nicht vorstellen , oder?

Weil wenn ich nämlich von null bis zu der stelle integrieren könnte , käme ich ja auf diese 18,96...

wie mach ich das ? wie weiß man denn das hier ?

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Puuh, ganz schön viel Kommentare ... :-)

Ich werde versuchen, das Wichtigste zu bearbeiten.

Also: Zunächst einmal muss geklärt werden, wie f ( x ) nun tatsächlich aussieht. Und da bin ich, auch wegen der "unschönen" Ergebnisse in meiner Antwort, inzwischen zu dem Schluss gekommen, dass sie doch so aussieht wie in deiner Überschrift, also:

f ( x ) = ( x ³ - 2 ) ⁸ * x ²

Natürlich kannst du aus dem Faktor x ² den Faktor 1 / x  ^{- 2} machen, also x  ^{- 2 "}in den Nenner schieben" und dann mit der Quotientenregel ableiten. Besonders praktisch finde ich das aber nicht. Lass statt dessen lieber x ² im Zähler stehen und verwende die Produktregel. Es ergibt sich:

f ' ( x ) = 3 * x ² * 8 * ( x ³ - 2 ) ⁷* x ² + ( x ³ - 2 ) ⁸ * 2 x

= 24 x ⁴ * ( x ³ - 2 ) ⁷ + ( x ³ - 2 ) ⁸ * 2 x

[ Ausklammern des Faktors  ( x ³ - 2 ) ⁷ :]

=  ( x ³ - 2 ) ⁷ * ( 24 x ⁴ + 2 x * ( x ³ - 2 ) )

= ( x ³ - 2 ) ⁷ * ( 26 x ⁴ - 4 x )

Das ist also die Ableitung von f ( x ). Sie hat an der Stelle x = 1 den Wert:

f ' ( 1 ) = - 22

was mit deiner vorgegebenen Lösung übereinstimmt.

 

zu a) Ohne die Stammfunktion F ( x ) überhaupt auszurechnen, kann man schon erkennen, dass die Integrationskonstante C den Wert Null annehmen muss, wenn der Graph von F ( x ) durch den Ursprung gehen soll. Denn f ( x ) ist eine ganzrationale Funktion und daher wird auch ihre Stammfunktion F ( x ) eine ganzrationale Funktion sein. Alle Exponenten der Variablen x werden in F ( x ) größer als 2 sei, weil dies der niedrigste auftretende Exponent von x in  f ( x ) ist. Daher werden alle Summanden von F ( x ) an der Stelle x = 0 den Wert Null annehmen. Dann aber muss auch die Integrationskonstante C den Wert 0 annehmen, damit insgesamt F ( 0 ) = 0 gilt und der Graph von F ( x ) somit durch den Ursprung verläuft.
Es muss also gelten: C = 0.

Aufgrund dieser Überlegung ist es also gar nicht erforderlich, die Stammfunktion tatsächlich zu bestimmen.

Ich habe dennoch WolframAlpha an die Arbeit geschickt und folgendes Ergebnis erhalten:

F ( x ) = x^27/27-(2 x^24)/3+(16 x^21)/3-(224 x^18)/9+(224 x^15)/3-(448 x^12)/3+(1792 x^9)/9-(512 x^6)/3+(256 x^3)/3+C

Ich habe mir auch den Wert des bestimmten Integrals von f ( x ) zwischen den beiden Nullstellen von f ( x ), also a = 0 und  b = ³√ 2 ausrechnen lassen und habe denselben Wert erhalten wie du:

_a∫^b f ( x ) = 512 / 27 = 18,963 (gerundet)

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Du kannst dir gar nicht vorstellen wie sehr du mir geholfen hast !
Schade , wäre mit diesem Bsp bei der Klausur positiv geworden .

Dabei is es dank dir eigentlich gar nicht mehr so schwer verständlich.

ich danke dir vielmals für deine Hilfe , auch bei meiner endlos langen Kommentarliste ;) !!! lg !!!