Eine Bäckerei mit Produktionsfaktor 1 und 2 und Faktoreinsatzmengen 1 und 2

Question

Eine Bäckerei stellt Kuchen her mit Produktionsfaktoren 1 und 2 und Faktoreinsatzmengen 1 und 2 auf Grundlage der Produktionsfunktion

\( f[(t 1),(t 2)]=2 \frac{(t 2)^{*}(t 1)^{2}}{3+(t 1)^{2}} \)

a) Ist diese Produktionsfunktion homogen ?

ich hab λt1 und λt2 in die Produktionsfunktion eingesetzt und glaube ,
dass f keine homogene Produktionsfunktion ist \( f(\lambda t 1, \lambda t 2)=2 \frac{(\lambda t 2) *\left(\lambda^{2}(t 1)^{2}\right)}{3+\lambda^{2}(t 1)^{2}} \neq \lambda^{t} f[(t 1),(t 2)] \)

b) Berechne die Grenzproduktivität der beiden Faktoren

Meine Annahme ist "Ableiten" ... und zwar einmal nach t1 und einmal nach t2 , oder?

und Frage c )
Angenommen man hält den zweiten Faktor auf konstanten Niveau von t2 >0
Zeige , dass die Produktionsmenge mit zunehmenden Einsatz v. Faktor 1 immer zunimmt .

Für welchen Wert von t1 wird in diesen Fall die maximale Grenzproduktivität erreicht ?

Bin schon ziemlich lange am grübeln wie ich das gut hinbekomme .
Hoffe ihr unterstützt mich etwas bei der Lösungsfindung ,würde mich freuen ;)
lg !!!

Answer 1

Ich benenne die Faktoren mal etwas um, damit das hier schöner aussieht.

f(x, y) = 2·(y·x^2)/(3 + x^2)

b) Berechne die Grenzproduktivität der beiden Faktoren 

Ja. Hier solltest du getrennt nach beiden Faktoren ableiten.

df/dx = 12·x·y/(x^2 + 3)^2

df/dy = 2·x^2/(x^2 + 3)

c) Angenommen man hält den zweiten Faktor auf konstanten Niveau von t2 > 0. Zeige, dass die Produktionsmenge mit zunehmenden Einsatz v. Faktor 1 immer zunimmt.

Die Steigung sollte immer ≥ 0 sein.

df/dx = 12·x·y/(x^2 + 3)^2 ist für x ≥ 0, y > 0 immer ≥ 0.
Damit ist die Produktionsmenge streng monoton steigend mit wachsendem x.

d) Für welchen Wert von t1 wird in diesen Fall die maximale Grenzproduktivität erreicht ?

Hier ist nach dem Wendepunkt gefragt.

d^{2}f/dxdx = 36·y·(1 - x^2)/(x^2 + 3)^3 = 0

x = 1

Comments

Danke Mathecoach , Punkt c hab ich jetzt auch verstanden !

... aber punkt d ist mir leider immer noch unklar .

36·y·(1 - x²)/(x² + 3)³ = 0 Das ich das Nullsetze und dafür einen Wert erreiche verstehe ich auch ( und ihn dann ggf überprüfe )

ich versteh noch nicht wie sich diese 36*y....usw. zusammensetzten , ich hoffe ich habs gleich ...

---

Das ist eigentlich die zweite Ableitung nach dem ersten Produktionsfaktor.

---

ok jetzt sehe ich es auch , ich danke dir vielmals !

und dann der vollständigkeit halber 144y*[ ((x^3)-3x) / (3+(x^2))^4 ]

und das dann mit x=1

144y*((-2)/(4^4)) kleiner als 0