Question

Formaler beweisen, dass an:= ((n + 1)(n^3 − 1)) / ((2n + 1)(3n^2 + 1)) keinen Grenzwert hat.



ich habe die folgende Folge gegeben:

((n + 1)(n^3 − 1)) / ((2n + 1)(3n^2 + 1))
.

wenn ich jetzt n^3 raushebe dann komm ich auf limes 1/0 also es gibt keinen Grenzwert.

Kann mir jemand helfen wie ich das jetzt korrekt formal kann ?

Lg Danke !

Answer 1

zuerst Zähler und Nenner ausmultiplizieren. Dann Zähler und Nenner mit 1/n³ multiplizieren:

$$\frac{(n+1)(n^3-1)}{(2n+1)(3n^2+1)} = \frac{n^4+n^3-n-1}{6n^3+3n^2+2n+1}$$

$$ = \frac{n + 1 - \frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{6+\frac{3}{n}+ \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}} $$

Jetzt sieht man es schon, ansonsten in zwei Brüche aufteilen und Limes draufhauen:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1 - \frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{6+\frac{3}{n}+ \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}} =  \lim_{n \to \infty} \frac{n}{6+\frac{3}{n}+ \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}} + \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{6+\frac{3}{n}+ \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \infty  \ . $$

Der erste Term geht gegen unendlich, der zweite gegen 1/6 .