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Aufgabe:

Es seien X und Y Mengen, f : X → Y eine Funktion, I eine Indexmenge und Aα ⊂ Y für alle α ∈ I. Beweisen Sie, dass:

$${ f }^{ -1 }(\bigcup _{ \alpha \in I }^{ }{ { A }_{ \alpha } } )\quad =\quad \bigcup _{ \alpha \in I }^{ }{ { f }^{ -1 } } ({ A }_{ \alpha }) $$

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ist eine Indexmenge bei euch eine endliche Menge?

eventuell gar eine Teilmenge von IN?
also ich glaube, dass man in diesem fall anstatt der indexmenge auch die natürlichen zahlen benutzen kann. aber ich bin mir leider nicht 100% sicher.

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Antwort mit KI erzeugt

Beweis einer Vereinigungsmenge und einer Indexmenge

Um zu beweisen, dass \( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) = \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \), gehen wir in zwei Schritten vor: Wir zeigen erst die Inklusion von links nach rechts und dann die Inklusion von rechts nach links.

Schritt 1: \( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \)

Sei \(x\) ein beliebiges Element von \(f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\). Das bedeutet, dass \(f(x) \in \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\). Daher existiert ein \(\alpha \in I\) derart, dass \(f(x) \in A_{\alpha}\). Daraus folgt, dass \(x \in f^{-1}(A_{\alpha})\).

Da \(\alpha\) ein beliebiges Element der Indexmenge \(I\) war, welches lediglich der Bedingung genügt, dass \(f(x) \in A_{\alpha}\), ist \(x \in \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\), da \(x\) in mindestens einem \(f^{-1}(A_{\alpha})\) enthalten ist.

Damit haben wir gezeigt, dass jedes Element von \(f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\) auch in \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\) enthalten ist, also \( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \).

Schritt 2: \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \subseteq f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) \)

Nehmen wir nun ein beliebiges Element \(x\) von \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\). Das heißt, es gibt mindestens ein \(\alpha \in I\), so dass \(x \in f^{-1}(A_{\alpha})\). Dies bedeutet wiederum, dass für dieses \(\alpha\), \(f(x) \in A_{\alpha}\).

Da \(f(x) \in A_{\alpha}\) und \(A_{\alpha} \subset \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\), folgern wir, dass \(f(x) \in \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\). Daraus folgt, dass \(x \in f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\).

Daher ist jedes Element von \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\) auch ein Element von \(f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\), was bedeutet, dass \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \subseteq f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\).

Da wir beide Inklusionen nachgewiesen haben, folgt die Gleichheit:
\( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) = \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \)

Dies vollendet den Beweis.
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