Beweis einer Vereinigungsmenge und einer Indexmenge

Question

Aufgabe:

Es seien X und Y Mengen, f : X → Y eine Funktion, I eine Indexmenge und Aα ⊂ Y für alle α ∈ I. Beweisen Sie, dass:

$${ f }^{ -1 }(\bigcup _{ \alpha \in I }^{ }{ { A }_{ \alpha } } )\quad =\quad \bigcup _{ \alpha \in I }^{ }{ { f }^{ -1 } } ({ A }_{ \alpha }) $$

Comments

ist eine Indexmenge bei euch eine endliche Menge?

eventuell gar eine Teilmenge von IN?

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also ich glaube, dass man in diesem fall anstatt der indexmenge auch die natürlichen zahlen benutzen kann. aber ich bin mir leider nicht 100% sicher.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis einer Vereinigungsmenge und einer Indexmenge

Um zu beweisen, dass \( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) = \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \), gehen wir in zwei Schritten vor: Wir zeigen erst die Inklusion von links nach rechts und dann die Inklusion von rechts nach links.

Schritt 1: \( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \)

Sei \(x\) ein beliebiges Element von \(f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\). Das bedeutet, dass \(f(x) \in \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\). Daher existiert ein \(\alpha \in I\) derart, dass \(f(x) \in A_{\alpha}\). Daraus folgt, dass \(x \in f^{-1}(A_{\alpha})\).

Da \(\alpha\) ein beliebiges Element der Indexmenge \(I\) war, welches lediglich der Bedingung genügt, dass \(f(x) \in A_{\alpha}\), ist \(x \in \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\), da \(x\) in mindestens einem \(f^{-1}(A_{\alpha})\) enthalten ist.

Damit haben wir gezeigt, dass jedes Element von \(f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\) auch in \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\) enthalten ist, also \( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \).

Schritt 2: \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \subseteq f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) \)

Nehmen wir nun ein beliebiges Element \(x\) von \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\). Das heißt, es gibt mindestens ein \(\alpha \in I\), so dass \(x \in f^{-1}(A_{\alpha})\). Dies bedeutet wiederum, dass für dieses \(\alpha\), \(f(x) \in A_{\alpha}\).

Da \(f(x) \in A_{\alpha}\) und \(A_{\alpha} \subset \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\), folgern wir, dass \(f(x) \in \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\). Daraus folgt, dass \(x \in f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\).

Daher ist jedes Element von \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha})\) auch ein Element von \(f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\), was bedeutet, dass \(\bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \subseteq f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})\).

Da wir beide Inklusionen nachgewiesen haben, folgt die Gleichheit:
\( f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) = \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}(A_{\alpha}) \)

Dies vollendet den Beweis.