Allgemeines LGS beschreibt Ebenen , die sich in einer gemeinsamen Geraden schneiden

Question

Ich habe hier ein LGS gegeben welches Ebenen beschreibt, die sich in einer gemeinsamen Geraden schneiden.

x_{1} + x_{2} = 1

2x_{1} + x_{2} =2

In den Lösungen steht dass man, wie unschwer zu erkennen ist, für x1=1 und x2=0 herausbekommt und zusätzlich auch noch ein x3=t setzen muss. Warum darf man dieses x3 einfach =t setzen?

Bitte ganz einfache Erklärung weil mir das irgendwie logisch erscheint aber keine so richtige Begründung einfällt.

Ich habe eine Ebenenschar gegeben, von der ich die gemeinsame Schnittgerade bestimmen soll.

ax_{1} + x_{2} = a ; a ∈ R

Jetzt habe ich für a 1 und 2 eingesetzt um die Schnittgerade per LGS auszurechnen.

Answer 1

Ich sehe kein x₃ in deinem LGS, weiß dennoch, was du meinst. Du hast bei zwei Ebenen ein sogenanntes UNTERBESTIMMTES LGS, bei dem eine Variable frei wählbar ist, da LGS dieser Art nicht eindeutig lösbar sind und sich von daher ihre Lösungsmenge parametrisieren lässt, hier mit t bezeichnet.

Comments

Da ist auch kein x3 von der Aufgabe gewollt. Das stimmt schon... und demnach ist es ja nicht unterbestimmt weil ja 2 Gleichungen für zwei Unbekannte vorhanden sind

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zusätzlich auch noch ein x3=t setzen muss

Wie lauten denn deine Ebenen?

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Ich habe eine Ebenenschar gegeben, von der ich die gemeinsame Schnittgerade bestimmen soll.

ax1 + x2 = a ; a element R

Jetzt habe ich für a 1 und 2 eingesetzt um die Schnittgerade per LGS auszurechnen.

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Du kannst es auch anders machen, da die Lösungsansätze von Büchern auch nicht immer die besten sind. Wenn du das LGS vor dir gelöst hast, bekommst du ja schonmal x_1=1 und x_2=0 raus.Jetzt schaus du dir jetzt mal deine Ebenenschar an. Du wirst festellen, dass der Koeffizient vor x_3 0  ist. Das bedeutet geometrisch betrachtet, dass all diese Ebenen hier parallel zur x_3 laufen. Die Lösungen x_1 und x_2 sagen dir nun den Schnittpunkt in der x_1x_2- Ebene an, also S(1|0|0). Das ist dein Stützvektor. Und da die Ebenen parallel zur x_3-Achse verlaufen, ist dann nur die x_3 -Komponente des Richtungsvektors ungleich Null. Damit hast du die Schnittgerade gefunden.

Und um zu sehen, ob es sie ist, setzt du sie in die Ausgangsebenengelichung ein.

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Vielen DAnk. Das ist denk ich die beste Lösung. Trotzdem nur aus Interesse warum darf man hier obwohl es ja genug gleichungen zum lösen gibt x3=t setzen?

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Also im Allgemeinen ist bei der Lagebeziehungsuntersuchung bei Ebenen ein unterbestimmtes LGS gegeben, nur, dass es hier icht so ist, da der Koeffizient vor x_3 wie schon erwähnt 0 ist. Und das ist der springende Punkt!!! Es ist doch egal, mit welcher Zahl man 0 multipliziert, es wird immer Null rauskommen. Daher kann x_3 sein was es will.

Dann hättest du ja dieses LGS:
$$ (1)\quad 1\cdot x_1+x_2+t=1\\(2)\quad 2\cdot x_1+x_2+t=2\\ $$

Löse das mal nach x_1 und nach x_2 auf. x_3=t ist ja schon bekannt. Du wirst eine parametirsierte Lösung erhalten - eine Lösungsmenge - welche die Schnittgerade repräsentiert. Deine Lösungen sind dann die Komponenten (x_1,x_2,x_3) für deine Gerade. Fertig.

Answer 2

Dann arbeitet ihr vielleicht etwas ungeschickt:

Wähle a=1 und a=0

\(Eo: \, y = 0\) und \(E1: \, x + y = 1\)

====> \(g(t) \, : \vec{x}=  \, \left(1, 0, 0 \right)^T + t \; \left(0, 0, 1 \right)^T\)