Komplexe Zahlen Imaginär und Realteil

Question

Aufgabe:

Realteil und imaginären Teil berechnen:

\( Z=\frac{-j R /(\omega C)}{R-j(\omega C)} \)

Answer 1

Du fängst am besten damit an, wenn du den Bruch mit

$$ \frac{R+j( \omega C)}{R+j( \omega C)} $$

erweiterst und erkennst, dass du im Nenner die 3. binomische Formel hast. Dadurch bekommst du die imaginäre Einheit aus dem Nenner heraus und kannst es aufteilen.

Comments

Hier steht  1.

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\( Z=\frac{-j R /(\omega C)}{R-j /(\omega C)} \)

Sorry, hab einen Bruch vergessen. Oben nun die richtige Formel.

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Für diese Formel gilt analog, dass du mit

$$ \frac{R+ j / (\omega C)}{R+ j / (\omega C)} $$

erweiterst. Der Rest sollte dann doch klar sein, oder?

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\( Z=\frac{-j R /(\omega C)}{R-j /(\omega C)} * \frac{R+j /(w C)}{R+j /(w C)}=\frac{\frac{-j R^{2}}{(w C)}+\frac{-1 * R}{(w C)^{2}}}{R^{2}+\frac{1}{(w C)^{2}}} \)

\( \frac{\frac{-j R^{2}}{(w C)}+\frac{-1^{*} R}{(w C)^{2}}}{R^{2}+\frac{1}{(w C)^{2}}}=\frac{\frac{-j R^{2}(w C)^{2}}{(w C)^{2}}+\frac{-R}{(w C)^{2}}}{\frac{R^{2}(w C)^{2}}{(w C)^{2}}+\frac{1}{(w C)^{2}}}=\frac{-j R^{2}(w C)^{2}-R}{R^{2}(w C) 2+1} \)

Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter...

Ups... muss unten natürlich (wC)² heißen.

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$$Z = \frac{ - \frac{j R}{ \omega C}}{R - \frac{j}{ \omega C}} \ .$$

Jetzt wie gesagt erweitern:

$$Z = \frac{ - \frac{j R}{ \omega C} \cdot \left( R + \frac{j}{ \omega C} \right)}{R^2 + \frac{1}{ \omega^2 C^2}} = \frac{ - \frac{j R^2}{ \omega C} + \frac{R}{ \omega^2 C^2}}{R^2 + \frac{1}{ \omega^2 C^2}} \ .$$

Als 2 Brüche schreiben:

$$ Z = -j \frac{R^2}{ \omega C \cdot \left( R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2} \right)} + \frac{R}{\omega^2 C^2 \cdot \left( R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2} \right)}$$

$$ =\frac{R}{\omega^2 C^2 R^2 + 1} -j \frac{R^2}{ \omega C R^2 +  \frac{1}{\omega C}} \ . $$

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Ja, genau. Als zwei Brüche schreiben...da verliere ich schnell den Überblick.