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es geht um folgendes.

Es seien K ein Ko¨rper, V ein K-Vektorraum, F=(vi)iI eine Familie in V und M : ={vi : iI}V. Dann gilt Lin(F)=MUKVU \text{Es seien }\mathbb{K}\text{ ein Körper, V ein }\mathbb{K}\text{-Vektorraum, }\\F=(v_i)_{i\in I}\text{ eine Familie in V und }M:=\{v_i:i\in I\}\subseteq V\text{. Dann gilt }\\Lin(F)=\bigcap_{M\subseteq U \leq_{\mathbb{K}}V}U

Lin(F) ist hier die Menge aller Linearkombinationen über F.

UKV U\leq_{\mathbb{K}}V bedeutet, dass U Untervektorraum von V ist.

Aber wie hier der Schnitt geschrieben wird, ist für mich sehr ungewohnt und kann es deshalb nicht verstehen. Bisher war ich es gewohnt, das große Schnittsymbol für Dinge wie An=[2n,2n]nN0An=[1,1]A_n=[-2^n,2^n] \qquad \bigcap_{n\in \mathbb{N}_{\geq 0}} A_n =[-1,1] gewohnt. Aber das oben verstehe ich einfach gar nicht.

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Das ist die Schnittmenge aller Untervektorräume, die Obermenge von M sind.

Avatar von 107 k 🚀

Wiso aller Unterräume? Ich habe doch nur U stehen, ohne Index.

An=[2n,2n]nN0An=[1,1]A_n=[-2^n,2^n] \qquad \bigcap_{n\in \mathbb{N}_{\geq 0}} A_n =[-1,1]

Die Menge Aπ ist hier nicht Bestandteil des Schnittes, weil Aπ nicht die Bedingung π∈ℕ≥0 erfüllt.

Sobald eine Zahl z die Bedingung z∈ℕ≥0 erfüllt, wird Az in den Schnitt mit aufgenommen.

MUKVU\bigcap_{M\subseteq U \leq_{\mathbb{K}}V}U

Sei v1≠v2 und M = {v1, v2}. Dann ist hier {0} nicht Bestandteil des Schnittes, weil {0} nicht die Bedingung M ⊆ {0} ≤IK V erfüllt.

Sobald eine Menge W die Bedingung M ⊆ W ≤IK V erfüllt, wird W in den Schnitt mit aufgenommen.

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