Notation einer Schnittmenge

Question

es geht um folgendes.

$$ \text{Es seien }\mathbb{K}\text{ ein Körper, V ein }\mathbb{K}\text{-Vektorraum, }\\F=(v_i)_{i\in I}\text{ eine Familie in V und }M:=\{v_i:i\in I\}\subseteq V\text{. Dann gilt }\\Lin(F)=\bigcap_{M\subseteq U \leq_{\mathbb{K}}V}U$$

Lin(F) ist hier die Menge aller Linearkombinationen über F.

$$ U\leq_{\mathbb{K}}V $$ bedeutet, dass U Untervektorraum von V ist.

Aber wie hier der Schnitt geschrieben wird, ist für mich sehr ungewohnt und kann es deshalb nicht verstehen. Bisher war ich es gewohnt, das große Schnittsymbol für Dinge wie $$A_n=[-2^n,2^n] \qquad \bigcap_{n\in \mathbb{N}_{\geq 0}} A_n =[-1,1]$$ gewohnt. Aber das oben verstehe ich einfach gar nicht.

Answer 1

Das ist die Schnittmenge aller Untervektorräume, die Obermenge von M sind.

Comments

Wiso aller Unterräume? Ich habe doch nur U stehen, ohne Index.

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\(A_n=[-2^n,2^n] \qquad \bigcap_{n\in \mathbb{N}_{\geq 0}} A_n =[-1,1]\)

Die Menge A_π ist hier nicht Bestandteil des Schnittes, weil A_π nicht die Bedingung π∈ℕ_≥0 erfüllt.

Sobald eine Zahl z die Bedingung z∈ℕ_≥0 erfüllt, wird A_z in den Schnitt mit aufgenommen.

\(\bigcap_{M\subseteq U \leq_{\mathbb{K}}V}U\)

Sei v₁≠v₂ und M = {v₁, v₂}. Dann ist hier {0} nicht Bestandteil des Schnittes, weil {0} nicht die Bedingung M ⊆ {0} ≤_IK V erfüllt.

Sobald eine Menge W die Bedingung M ⊆ W ≤_IK V erfüllt, wird W in den Schnitt mit aufgenommen.