Komme bei folgender Möbius Transformation Aufgabe nicht weiter.

Question

Ich weiss bei einer Aufgabe nicht mehr ganz wie man die Menge in den Kreis oder aus dem Kreis bei der Möbius Transformation macht und wie man die gegebenen Schritte abbildet.

VG :)

Answer 1

  Bei uns in Frankfurt   hatten wir das Angebot:  Wer sich im ( Physik ) Vordiplom freiwillig für Funktionenteorie meldet statt der ( vorgeschriebenen )   reellen Analysis  D & I  2  , bekommt eine Note besser, als er verdient. Das ließ ich mir nicht zwei Mal sagen -  obwohl.  Ich lernte damals noch autodidaktisch konservativ nach den Knoppbändchen; ich glaub da gibt's längst bessere Literatur.

   Als Prüfer entschied ich mich für " Norbert "  , der bei allen sehr beliebt war.  Um 7h45 vor Vorlesungsbeginn       mengte der sich erst mal unter uns Studenten und machte Smalltalk  ...   ( Den Typ  in seinem Understatement musst  du dir ganz ähnlich vorstellen wie  ===>  Heinz Erhard. )

   Norberts Ansicht über  den |R  ^ n  , geäußert in einer seiner Vorlesungen:

   "   Auch ich ging mal aus Neugier in eine Vorlesung,  wie das Innere eines geometrischen Körpers im allgemeinen |R  ^ n  definiert ist.

    Nach Ende der Veranstaltung war ich so verwirrt,  dass mir nicht mehr klar war,  dass wenn ich in die Mensa will,  ich mich vom Innengebiet des Hörsaals in sein Außengebiet begeben muss.  Und dasss mir das nur möglich ist, wenn  ich vorher die Klinke betätige ... "

    Um mich aufzulockern, begann er die Prüfung

    " Bei dem schönen Wetter könnensich sicher was Besseres vorstellen, als Prüfung zu machen - nämlich was? "

   " Schwimmen gehen. "

   " Bier trinken ... "

    Band 1 der Knoppbändchen bietet ja eine "  Einführung in die Funktionenteorie "    Und von Da erinnere ich mich deutlich, dass deine Möbiusabbildungen die Menge M der Geraden und Kreise auf sich abbildet.

    Wiki bestätigte meinen Verdacht;  d.h. da jeder Kreis eindeutig durch drei Punkte fest gelegt ist  ( Warum? )  betrachten wir die Bilder dreier Punkte.  Da dein einheitskreis ja direkt durch i verläüft, erwarte ich eine Gerade.

   Beginnen wir mit   z  =  1

                         1 - i

    f  (  1  )  =   -----------    =  1         (  1  )

                         1 - i

      als Nächstes schlage ich  (  -  1  ) vor:

    
                            1 + i                      1 + i

    f  (  -  1  )  =  -------------    =   -   -----------  =  (  -  1  )        (  2  )

                          - 1 - i                     1 + 1

    Und schließlich findest du  f ( - i ) = 0  , also tatsächlich drei Punkte, die auf dem reellen Durchmesser des Einheitskreises liegen.

   Am Betragsgrößten, nämlich unendlich, ist natürlich f ( i )  Weil derjenige Punkt des einheitskreises, der am Weitesten weg ist von i, ist ja  ( - i )  Ich würd mal schätzen, wenn du längs dem Kreis rechtsrum gehst von i nach - i ,   nähert sich das Bild von ( + °°  ) und geht gegen Null.   Und umgekehrt, wenn du linksrum gehst.

Comments

Aus dem Grund verzweifle ich gerade an der Aufgabe die Ungleichung in der Menge soll ja irgendwie die Menge beschreiben. Sprich ob die Menge im oder aus dem Kreis heraus ist. Wir hatten immer 4 Abbilder gezeichnet gehabt und die transformation zu der Aufgabe habe ich auch verstanden. Nur wie ich die Menge einzeichnen soll, fällt mir schwer. Auch hier bitte, versuche bitte bei der Aufgabe zu bleiben auch wenn mir deine Vorgeschichte gefallen hat. In den Büchern zur Funktionentheorie habe ich stets nur die allgemeine Vorgehensweise der Aufgabe gefunden aber nichts zu Abbildern, sprich zeichnen von Gerade und Kreisen und daraus dann die Menge. Also es würde mir schon sehr viel helfen wenn wir beim Thema bleiben könnten.

VG :)

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  Hier ich hab das jetzt eben mal aus dem Ärmel geschüttelt; von mir wurde sowas nämlich nie verlangt.  Ich behandelte es Zeit lebens als Kuriosum.

   Die Aussage; das Möbiusbild eines Kreises ist selbst wieder ein Kreis ( oder im Grenzfall eine Gerade. )  Genau das trifft hier zu, weil dein Kreis aus der Aufgabe mitten durch die Polstelle der Funktion f geht.

   Ist dir bekannt, dass  und warum drei Punkte eindeutig einen Kreis festlegen? Ich habe einfach mal drei besonders einfache Punkte geraten und kam auf die Gerade. Aber was willst du mit 4 Punkten beweisen? Das ist mir überhaupt nicht klar.

    Und dann hatte ich dir noch gesagt, wenn du auf dem Kreis von ( + i ) nach ( - i ) gehst.  Waum ich dann glaube, dass der entsptechende Bildpunkt von ( + °° ) kommend in ( + 0 ) mündet.

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Häää was für Punkte. Es geht mir um die Menge die aus oder in dem Kreis sein soll. Dazu haben wir erstmal die Ungleichung, die in der Menge geschrieben steht mit Im(...) <  ... in die Ausgangsfunktion umgeformt, so mit Punkten und so weiter kam das bei uns nie vor. Wir haben nur die Regeln mit dem invertieren von Kreisen und Gerade gelernt und dann sollten wir das anwenden. So wie du das gerade erklärst hat der Prof das uns nicht erzählt. Vielleicht liegt das einfach nur zu weit zurück, da ich das Fach wiederhole. Also keine Ahnung. Hmmm Wir haben immer den Ausdruck der in M geschrieben steht in die Ausgangsform umgeformt, danach weiss ich jetzt auch nicht mehr hahaha :D

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Nein warte wir haben dann irgendwie die Menge ausgehend von der letzten Abbildung so rückwärts gezeichnet und dabei mussten wir dann aufpassen, wie die Laufrichtung der Geraden ist, also ob links oder rechts.

VG :)

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Also mir wäre es wesentlich einfacher wenn du es mir mit den Abbildern zeigen könntest. Also das mit Polstelle und so, daran kann ich mich gar nicht erinnern.

VG :)

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Hallo

da stehen 2 Aufgaben zusammen, die eine will das Bild des Einheitskreises um 0 wissen, das ist die reelle Gerade, die du findest, indem du etwa die 3 Punkte z=0,z=-1 und z=-i (oder z=i ) abbildest.

 die andere will eine Menge, die durch eine Ungleichung beschrieben wird gezeichnet haben, dazu musst du erst mal dein Imaginärteil  von 1/(j-z) bestimmen, der soll dann kleiner als -1/2 sein.

Also 2 Aufgaben, die du irgendwie durcheinander bringst.

Gruß lul

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Ok ich merke ich komme mit der Aufgabe hier nicht weiter.

Die Aufgabe baut aufeinander auf. Zuerst sollen die Abbilder gezeichnet werden und anschließend bestimmt werden wo sich Menge befindet. Sprich ist die Menge im Kreis oder aus dem Kreis. Wir haben es nach einer bestimmten Methode gemacht die uns so bekannt war. Sprich Ungleichung nach der Ausgangsfunktion umformen und dann anschließend aus der letzten Abbildung mit der Laufrichtung beachtend die Menge einzeichnen. Im Allgemeinen wird es wahrscheinlich anders gemacht jedoch ist das halt zu allgemein und deswegen ist die Lösung nicht die, die mir hilft.

VG trotzdem.

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Hierzu brauch ich schon konkret die Abbilder, also einfach so etwas herzuleiten war bei uns weder gefragt noch war das so gewollt. Es waren stets 4 Koordinantesysteme wo sich die Abbilder bewegen oder halt durch eine inversion in Geraden überführen lassen, wie die Sätze zur Möbius Transformation bekannt sind. Inversion eines Kreises der den Nullpunkt berührt wird zur einer Geraden, der den Nullpunkt nicht berührt und so weiter. Diese Sätze mussten wir für die jeweiligen Abbilder nutzen, um jede SItuation drazustellen. Zum Schluss gabs dann für die Menge stets eine Ungleichung die, in die Ausgangssituation umzuformen galt. Es soll so aussehen:
 
Ich weiss hier nicht wie er in der Lösung darauf kommt.

Ich hoffe jetzt ist es etwas klarer.

VG :)

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Ich habe jetzt die Werte, die von rumpelstielz eingesetzt.

Da komme ich auf f(z = 1) = 1, f(z=-1) = -1 und f(z = -j) = 0

Da ich hier die Punkte eingesetzt habe, und festgestellt habe, dass die Punkte sich einmal im Mittelpunkt und am äusseren Rand der ersten Abbildung befinden, ist damit dann die Menge im Kreis und nicht ausserhalb des Kreises gemeint ?

VG :)

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Hallo

du solltest sehen, dass die Punkte auf einer Geraden liegen, damit ist die ganze Gerade Bild der Menge (j geht nach unendlich) Punkte nahe bei j sehr weit nach drausen. die untere Hälfte des Kreises wird ins Innere des Kreises abgebildet (auf den reellen Durchmesser) die obere auf das äußere, den Rest der reellem Achse.

Natürlich kannst du auch nacheinander untersuchen was mit z->j-z passiert, danach mit 1/w usw. da ihr das so gemacht habt, mach das doch einfach , die erste Abbildung ist eine Spiegelung an der y-Achse, z->-z und anschliessende Verschiebung um j. der Kreis geht in einen um j über. wenn du jetzt noch 1/w bildest, hast du die Abb. aus dem 2 ten Teil und davon eben Im.

Gruß lul

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Hab jetzt nochma bei mir an der uni nachgefragt und die Antwort war halt Punktprobe. Nur, so hatte ich es gar nicht in Erinnerung. Ja gut, also wenn das dann so klappt dann bin ich erstaunlicher Weise zu frieden

VG und VD :)

Answer 2

Hallo

da man weiss dass Kreise in Kreise ode Geraden übergehen, bildet man einfach drei Punkte ab, zB z=+-1 und z=-j, dann findest du das Bild als Verbindung.

2. Teil wohl am besten mit z=x+iy

Gruß lul

Comments

Mir geht es schon um die Aufgabe also ich weiss nicht wie man hier bei der Aufgabe die Menge zeichnet. Sprich ist die Menge im oder aus dem Kreis.

Wir starten mit einem Kreis der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat und den Radius halt 1. Daneben macht man dann 3 weitere Abbilder sprich wie sieht der Kreis aus wenn z - j und das nannten wir dann w. Im nächsten Schritt sieht dann der Kreis aus wie eine, da 1/w und das nannten wir dann v und zum schluss dann noch mal 2 minus j und dann kamen wir auf die fertig transformierte.

Zum Schluss mussten wir etwas mit der Ungleichung machen, jedoch weiss ich hier nicht mehr wonach. Also wenn du etwas zu dieser Aufgabe sagen könntest wäre es schon hilfreich.

VG :)