hallo
man muss die n+1 nicht unbedingt rausziehen, manchmal muss man eben mit überlegung ein bisschen rumfummeln, rumfrickeln und sich quasi von hinten an die lösung ranpirschen. mehrere relationszeichen verketten ist schon mal eine gute idee.
behauptung: n • (2n)2 < 10n gilt für alle n ∈ ℕ
sei n = 1
1 • (21)2 = 4 < 101 = 10
für n = 1 funzt das also schon mal und wir können annehmen, dass es auch für ein n >= 1 funzt
n • (2n)2 < 10n
n • (2n)2 + (2n)2 < 10n + (2n)2 < 10n + 10n (weil (2n)2 < 10n für n = 1, ab hier folgt die behauptung)
n • (2n)2 + (2n)2 < 10n + 10n | • 22 (anwendung des transitivgesetzes und multiplikation mit 2)
n • (2n)2•22+ (2n)2•22 < (10n + 10n) • 22
n • (2n)2•22+ (2n)2•22 < (10n + 10n) • 22 < 10(n+1) | z.b. (101+101)•22 < 102 , was für alle n noch separat zu zeigen wäre
n • (2n)2•22+ (2n)2•22 < 10(n+1) (transitivgesetz)
(n+1)•(2n)2•22 = (n+1)•(2n•2)2 = (n+1)•(2n+1)2 < 10(n+1)
da aus n • (2n)2 < 10n mit dem induktionsschritt (n+1)•(2n+1)2 < 10(n+1) folgt, haben wir die behauptung für alle n ∈ ℕ bewiesen.
lg
