Da hast du natürlich Recht, das ist ein Blödsinn. Ich starte einen neuen Beweisversuch:
Sei U ⊂ ℝ offen. Jede offene Menge U lässt sich disjunkt in eine - möglicherweise überabzählbare- Vereinig∈g von offenen Zusammenhangskomponenten Zi⊂U, i∈I zerlegen. Das heißt U = ∪ Zi, i∈I.
Da die Zusammenhangskomponenten alle offen sind, gibt es für jedes x∈Zi zwei rationale Zahlen px,qx ∈ ℚ∩Zi, mit px<x<qx.
Also: ∀x∈U: Ix :=(px,qx)⊂Zi⊂Ui
Damit ist: U = ∪{x}, x∈U -> ∪ Ix, x∈U -> ∪(px,qx), x∈U -> ∪(px,qx); px,qx∈ℚ∩U eine abzählbare Vereinigung von offen Intervallen.
Ich hoffe diesmal, passt es besser.