0 Daumen
1,4k Aufrufe

Es startet ein Skilift zum Zeitpunkt t=0 an der Talstation auf 800m über dem Meeresspiegel.Die Bergstation ist nach 4 Minuten und 40 Sekunden erreicht.Die Funktion h mit h(t)=-8t^3 +60t^2 + 52t +800 gibt an, in welcher Höhe sich die Gondel zum Zeitpunkt t befindet (t in Minuten, h in m der dem Meeresspiegel).

b)Wann durchbricht die Gondel die 1500m Grenze ungefähr ?

Meine Frage ist, wie ich die Aufgabe ausrechnen muss?

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

h(t)=1500 hat die Lösungen

t=6,36   t=4,32   t=-3,18

also ist das nach 4,32 Min, also etwa   4 Min 30Sek der Fall.

Avatar von 289 k 🚀

Was muss ich gerechnet haben, um auf die t=6,36 usw. raus zu bekommen

Die Stellen kann man ungefähr am Graphen ablesen und

dann mit Näherungsverfahren weitermachen.

0 Daumen

1500 = -8t3+ 60t2 + 52t + 800

Wenn du diese Gleichung löst, kommst du auf die t- Werte vom obigen Kommentar. Ablesen vom Graphen würde ich da nicht empfehlen.

Avatar von

Wie müsste ich die Gleichung auslösen ?

Am einfachsten im Taschenrechner xd.

Sonst musst du die Kubische Gleichung so lösen, aber das ist ein bisschen zu aufwändig um es hier zu erklären.

Im Taschenrechner kannst du es ganz einfach als Polynomgleichung 3. Grades lösen. Vorher natürlich die 1500 auf die rechte Seite bringen.

0 Daumen

  Du da gäbe es mehrere Möglichkeiten:


     p  (  t  )  :=  -  8  t  ³   +  60  t  ²  +  52  t  +  800  -  1 500  =        (  1a  )

                    =  -  8  t  ³  +  60  t  ²  +  52  t  -  700  =  0       (  1b  )


    Wie sieht es mit der Asymptotik aus?  Ungerade Polynome kommen an sich von  (  -  °°  )  ;  aber da wir einen negativen  ===>  Leitkoeffizienten haben,  hast du eine gespiegelte Situation.

   ( Kommt von (  +  °°  )    und haut ab nach  (  -  °°  )   )

   Eine erste Orientierung erlaubt dir bereits die cartesische Vorzeichenregel  (  CV  ) 

   ( von der ihr nichts erfahrt, weil sie so wichtig ist; aber tröste dich. Mir ging's nicht besser. )

    Gleich für t < 0  ist genau eine Nullstelle garantiert;  mit der Signatur


             (  +  ;  +  ;  -  -  )         (  1c  )


       ergibt  ( 1b )  nämlich einen   VZW .  

    ( Wolfram malt dir übrigens die Kurve raus;  es handelt sich offenbar um eine unphysikalische Nullstelle. )

      Positiv hüllt sich die CV zwar in sibyllinisches Schweigen;  aber in Anbetracht der Tatsache, dass dir die Aufgabe bereits die Existenz von Wurzeln versichert, offenbar zwei. ( Ich komme darauf zurück. )

     Jetzt müssen wir unbedingt noch eine formale Frage klären. In der Algebravorlesung lernt man zur Not die Alternative:  Entweder ein kubistisches Polynom ist das ===>  Minimalpolynom seiner drei ( reellen oder komplexen ) Wurzeln.  Oder aber es spaltet einen rationalen Linearfaktor  (  RLF  )  ab.

     Um eine Formulierung zu gebrauchen, die das Fischerlexikon in anderem Zusammenhang verwendete:

    " Bis in die 1950_er Jahre hinein wusste man über den RLF -  GAR NICHTS . "

     Und seitdem haben wir den  äußerst  bemerkenswerten  ===>  Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )  , der allerdings nur Aussagen über primitive Polynome macht.

     ( Hey; der Satz ist noch so neu, dass die mittelalterlichen Kopisten in Wiki et. al. , die sich gegenseitig falsch abschreiben, diesen Umstand bis Heute nicht bemerkt haben. )

     Die primitive Form von ( 1b ) lautet


     p  (  t  )  =  b3  t  ³  +  b2  t  ²  +  b1  t  +  b0  =  0        (  2a  )

                       b3  =  2  ;  b2  =  (  -  15  )  ;  b1  =  (  -  13  )  ;  b0  =  175       (  2b  )


      ( Wir   wollen verabreden, dass wir für die Koeffizienten primitiver Polynome stets den Buchstaben b_i  verwenden. )

      Und mit b3 = 2   sind eben laut  SRN  neben ganzzahligen Kandidaten ( die ja immer im Rennen sind )   nur noch halbzahlige zugelassen.

     ( Damit können wir sicher sein, dass Wolframs Wurzeln tatsächlich irrational sind und nicht etwa Brüche  der unhandlichen Periodenlänge  4 711. )

      Jetzt zeichnet sich doch folgende  Situation ab:  Für t > 0 erwarten wir ein ( lokales ) Maximum von ( 1b )  ; d.h. die Kabine klettert höher als  800 m .   Und links von diesem Maximum liegt die Nullstelle, die du suchst. (  Und rechts kommt sie wieder runter; die zweite Nullstelle. )

     Mal eine Fangfrage;  du weißt doch. Ich bin sehr listig. 

     Kennst du?  Augsburger Puppenkiste; Blechbüchsenarmee?

    " Unser General Blech ist nicht nur ungeheuer mutig, sondern auch sehr listig ... "

     In diesem Sinne.  Mit der CV wäre immer noch vereinbar, dass du eine doppelte Nullstelle hast, mithin die Nullstelle von ( 1b ) und das Maximum zusammen fallen.

      Geht das?

       By no means.

       Die ( reellen oder komplexen ) Wurzeln von Minimalpolynomen sind STETS EINFACH .

      Tjaa; so feine Sachen lernt man in der Algebravorlesung ....

       Der Beweis liegt auf der Hand.  Stell dir vor, x0  sei eine irrationale Zahl, deren Minimalpolynom f ( x )   vom Grade 4 711 ist.   Wenn aber x0 doppelt, wäre gleichzeitig    f  '  (  x0  )  = 0  eine " noch minimalere "  Beziehung in x0 lediglich vom Grade 4 710 ...

     Mit den modernen Metoden, die euch zur Verfügung stehen, sollte die Lösung dieser Aufgabe eigentlich ein Klax sein.  Zunächst die erste Ableitung von ( 1b ) Null setzen, um dieses Maximum zu eruieren:


           -  24  t  ²  +  120  t  +  52  =  0    (  3a  )

               t  ²  -  p  t  +  q  =  0     (  3b  )

                        p  =  5  ;  q  =  (  -  13/6  )          (  3c  )


     Mitternachtsformel sollteste drauf haben;   an Hand CV  ist q  <  0 übrigens hinreichend für zwei reelle Extrema ( mit entgegen gesetztem Vorzeichen. )

      Ich hab eben gespickt; Wolfram gibt die Gipfelhöhe zu 870  m .   Ich selbst entstamme einem Welt-Elektronikkonzern; und ich stimme völlig mit meinem Chef überein, wenn er sagt

     " Da doch alles nur Näherungsverfahren sind. Verwendense doch was Robustes, ich meine fort gesetzte Intervallhalbierung. "  ( " Telefonbuchsuche " )

      Wahl weise hast du zwei Abbruchkriterien;     

      1) wenn die Mantisse von t0 die geforderte Stellenzahl überschreitet

      2)  Wenn f ( t0 )   dem Betrage nach  <  €  .

      Ich musste seiner Zeit noch das Hornerschema auf der HP programmieren;  ein Knopfdruck, und in 5 sec hast du den Funktionswert.   ( Horner zielt darauf ab, dass sich Fehlerquellen gegenseitig weg interferieren. )

     Ich hab mir sagen lassen, ihr mit eurem GTR  habtr da heute ganz fantastico Möglichkeiten.

Avatar von

Ja, wir müssen mittlerweile nur noch Werte in den GTR einsetzen und fer macht alles für uns. Und im hilfsmittelfteien Teil wird dann vielleicht mal höchstens die p-q-Formel angefordert.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community