Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph die angegebenen Eigenschaften hat:
$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f'x(x)=6ax+2b$$
a, der Graph hat im Punkt T(1|0) einen Tiefpunkt und im Punkt H(3|4) einen Hochpunkt
$$f(1)=a+b+c+d=0$$$$f(3)=27a+9b+3c+d=4$$$$f'(1)=3a+2b+c=0$$$$f'x(x)=18a+2b=0$$$$9a+b=0$$$$b=-9a$$$$c=-3a-2b=(-3+18)a=15a$$$$d=-a-b-c=(-1+9-15)a=-7a$$$$(27-81+45-7)a=4$$$$-16a=4$$$$a = -1/4 ; b =9/4 ; c = -15/4 ; d=7/4$$$$f(x)=-0,25 x^3 + 2,25x^2 - 3,75x+1,75$$
b, der Koordinatenursprung ist Wendepunkt, der Punkt H(3|2) ist Hochpunkt.
$$f(0)=d=0$$$$f''(0)=2b=0$$$$b=0$$$$f(3)=27a+3c=2$$$$f'(x)=27a+c=0$$$$2c=2$$$$c=1$$$$a=-1/27$$$$f(x)=-1/27x^3+x$$
c, der Koordinatenursprung ist ein Punkt des Graphen, W(2|4) ist Wendepunkt, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3
$$f(0)=d=0$$f(2)=8a+4b+2c=4$$$$f'(2)=12a+4b+c=-3$$$$f'x(x)=12a+2b=0$$$$b=-6a$$$$-8a+c=2$$$$-12a+c=-3$$$$4a=5$$$$a=5/4 ; b=-15/2 ; c=12 : d=0$$$$f(x)= 1,25x^3 - 7,5x^2 +12 x$$
d, der Graph geht durch den Koordinatenursprung und hat in S(2|1) einen Sattelpunkt.
