Bestimmung ganzrationaler Funktion 3. Grades Steckbriefaufgabe

Question

Aufgabe:Bestimme die ganzrationale Funktion 3.Grades:

Der Graph verläuft durch P(1/3), x=3 ist Wendestelle von f, die Wendetanggente hat die Gleichung y= -3/2x + 11/2.

Problem/Ansatz:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Punkt (1/3) liefert: f(1) = 3

Wendestelle bei x=3 liefert: f''(3)=0

und nun hört es auf...bin zu lange raus...

Wer kann helfen ?

Answer 1

Hallo,

das sieht doch schon ganz gut aus.

Du brauchst vier Bedingungen um die vier Unbekannten zu bestimmen.

Der Graph verläuft durch P(1/3), x=3 ist Wendestelle von f,

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

P(1|3) → 3=a+b+c+d   (1)

x_W=3 → 0=18a+2b   (2)

die Wendetangente hat die Gleichung g(x)= -3/2x + 11/2.

f(3)=g(3)=-3/2 *3 + 11/2 = 1

--> 1=27a+9b+3c+d   (3)

f'(3)=g'(3) → 27a+6b+c=-1,5    (4)

Nun haben wir vier Gleichungen.

d eliminieren:

(3)-(1) --> -2=26a+8b+2c    (5)

(2) → b=-9a

Einsetzen in (4) und (5):

27a-54a+c=-1,5  --> -27a+c=-1,5   (6)

26a-72a+2c=-2 → -23a+c=-1     (7)

(7)-(6) → 4a=0,5 → a=0,125=1/8

b=-9a=-1,125=-9/8

(7) → c=-1+23a=-1+23/8=15/8=1,875

(1) → d=3-a-b-c=3-1/8+9/8-15/8=17/8=2,125

f(x)=0.125x^3-1.125x^2+1.875x+2.125

Mit Funktionsplotter überprüft, sieht gut aus.

☺

Comments

Ok, soweit kann ich folgen. Aber wie löse ich das jetzt auf ?

Habe es micht Rechnern aus dem www versucht, aber bei jedem kommt ein anderes Ergebnis raus.

Kannst du es mir bitte einmal vorrechnen ?

Vielen Dank

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Hallo Frank,

ich ergänze meine Antwort Stück für Stück.

Nun muss ich noch gucken, ob ich mich verrechnet habe.

:-)

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Hast du noch Fragen?

Answer 2

Hallo,

\( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \)

\( f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c \)

\( f^{\prime}(x)=6 a x+2 b \)

\( f(1)=3 \Rightarrow a+b+c+d=3 \)

\( f^{\prime \prime}(3)=0 \Rightarrow 18 a+2 b=0 \)

\( f^{\prime}(3)=-1,5 \Rightarrow 27 a+6 b+c=-1,5 \)

\( y=-1,5 x+5,5 \)
\( y=-1,5 \cdot 3+5,5=1 \)

\( f(3)=1 \Rightarrow 27 a+9 b+3 c+d=1 \)

Jetzt brauchst du "nur noch" dieses Gleichungssystem zu lösen.

Gruß, Silvia

Comments

Danke, aber am lösen des Gleichungssystems scheitere ich jetzt...

Bitte um Hilfe

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Du kannst diesen Rechner benutzen.

Answer 3

x=3 ist Wendestelle von f, die Wendetangente hat die Gleichung y= -3/2x + 11/2.

Also gibt es den Punkt (3|1) und es gilt f '(3)=-3/2.

Comments

Super, schon einmal vielen Dank.

Aber wie geht es jetzt weiter bis zur kompletten Lösung ?

Der komplette Lösungsweg wäre super....

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und es gilt f '(3)=-2/3.

Vermutlich ein kleiner Zahlendreher.

Answer 4

Benutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(1) = 3
f''(3) = 0
f(3) = 1
f'(3) = -1.5

Gleichungssystem

a + b + c + d = 3
18·a + 2·b = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 1
27·a + 6·b + c = -3/2

Errechnete Funktion

f(x) = 0,125·x^3 - 1,125·x^2 + 1,875·x + 2,125

Comments

Perfekt !!! Vielen Dank !!!

Wie würde man das ohne Rechner lösen ?

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z.B. mit dem Gauß-Verfahren

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Du solltest das lineare Gleichungssystem auch handschriftlich mit Taschenrechner als Rechenhilfe lösen können. Wenn nicht, solltest du das Kapitel im Buch nochmals durchlesen.

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Werde ich mir anschauen.

Danke

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In meiner Antwort habe ich die Aufgabe - ohne Taschenrechner - vorgerechnet.

:-)

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a + b + c + d = 3
18·a + 2·b = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 1
27·a + 6·b + c = -3/2

II ; III - I ; IV

18·a + 2·b = 0
26·a + 8·b + 2·c = -2
27·a + 6·b + c = -3/2

II ; 2*III - II

18·a + 2·b = 0
28·a + 4·b = -1

2*I - II

8·a = 1 → a = 1/8 = 0.125

Jetzt rückwärts auflösen

18·1/8 + 2·b = 0 --> b = - 9/8 = -1.125
26·1/8 + 8·(- 9/8) + 2·c = -2 --> c = 15/8 = 1.875
1/8 + (- 9/8) + (15/8) + d = 3 --> d = 17/8 = 2.125

Also

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f(x) = 1/8·x^3 - 9/8·x^2 + 15/8·x + 17/8
f(x) = 1/8·(x^3 - 9·x^2 + 15·x + 17)