Hilfe bei Übungsaufgabe Mathematik für Informatiker

Question

Aufgabe 4: (3 Punkte) Es bezeichne \( S \) die Menge aller reellen Zahlen der Form \( a+b s \), wobei \( s:=\sqrt{2} \), und \( a \) und \( b \) rationale Zahlen seien, also:
\( S:=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Q}\} \)
Zeigen Sie:
(a) \( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{72}} \in S ; V \)
(b) sind \( a, b, c, d, e \in \mathbb{Q} \), so gilt \( a+b s+c s^{2}+d s^{3}+e s^{4} \in S \), sowie \( a+b s+c s^{2}+d s^{3}+e s^{4} \in \mathbb{Q} \) 

Also die a ist klar, jedoch komme ich bei der b nicht weiter. Ich versteh diese nicht.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Gruß

…

Problem/Ansatz:

Also die a ist klar, bei der b komme ich irgendwie nicht weiter.

Comments

a=0, b=1, c=0, d=0, e=0, dann ist \( a+b s+c s^{2}+d s^{3}+e s^{4} = \sqrt 2\notin \mathbb{Q} \)?

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Tipp: Es ist \(s^2=2\), \(s^3=2\sqrt2\)  und \(s^4=4\).
Aber warum soll denn \(a+bs+cs^2+ds^3+es^4\in\mathbb Q\)  sein und wofür steht das \(V\) ?

Answer 1

Hallo,

Es bezeichne \( S \) die Menge aller reellen Zahlen der Form \( a+b s \), wobei \( s:=\sqrt{2} \), und \( a \) und \( b \) rationale Zahlen seien, also:\( S:=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Q}\} \)Zeigen Sie:(a) \( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{72}} \in S ; V \)(b) sind \( a, b, c, d, e \in \mathbb{Q} \), so gilt \( a+b s+c s^{2}+d s^{3}+e s^{4} \in S \), sowie \( a+b s+c s^{2}+d s^{3}+e s^{4} \in \mathbb{Q} \) 

Die letzte Zeile kann nicht stimmen. Hast du dich vielleicht vertippt?

s^2=2; s^4=4

 \( a+b s+c s^{2}+d s^{3}+e s^{4} \\ =(a+2c +4e)+(b+2d)\sqrt 2\)

Das ist ein Element von S, aber nur rational, wenn b+2d=0 ist.

\( a-2d s+c s^{2}+d s^{3}+e s^{4} \in \mathbb{Q} \)

☺

Comments

Ja das stimmt, es heißt noch wenn b+2d= 0, dies wurde abgeschnitten in der Aufgabe oben. Wie bist du auf das Ergebnis gekommen?

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√2 darf nicht vorkommen. Der Faktor (b+2d) muss deshalb gleich Null sein.

:-)

Answer 2

Wähle mal \( a= c = d = e = 0\) und \( b = 1 \). Was folgt dann?

Answer 3

a)
a + b√2 = 1/√2 + 1/√72
a + b√2 = 1/2*√2 + 1/12*√2
a + b√2 = 7/12*√2
Also a = 0 ; b = 7/12

b)

a + √2b + 2c + 2√2d + 4e
(a + 4e + 2c) + (b + 2d)*√2

für b + 2d ≠ 0 ist die Summe also nicht in Q.

Vermutlich hast du irgendwie die Aufgabe falsch notiert.

Comments

Hi, also das V gehört nicht da hin, habe gerade gesehen es wurde der letzte Teil abgeschnitten: …, wenn b+2d=0.

Sry, mein Fehler.

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(a + 4e + 2c) + (b + 2d)*√2

wenn b + 2d = 0 wird daraus

(a + 4e + 2c) + 0*√2
a + 4e + 2c

und dann ist die Summe Element von Q.

Die Summe rationaler Zahlen ist ja wieder rational.

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Ich komme irgendwie nicht auf die (a+4e+2c) +(b+2d)*wurzel 2

Für s = wurel2 einsetzen?

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Ja genau. Steht doch in der Aufgabe, dass s = √2 ist

Damit ist

s = √2
s² = 2
s³ = 2√2
s^4 = 4

wie Arsinoë4 dir bereits verraten hat.