Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Question

Aufgabe: Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Problem/Ansatz:

heyy, ich soll folgenden Graph bestimmen aber weiß nicht genau, wie ich ihn aufstellen soll bzw. komme mit den vielen Informationen nicht zurecht. BITTE UM HILFE !! <

… Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph die angegebenen Eigenschaften hat:

a, der Graph hat im Punkt T(1|0) einen Tiefpunkt und im Punkt H(3|4) einen Hochpunkt

b, der Koordinatenursprung ist Wendepunkt, der Punkt H(3|2) ist Hochpunkt.

c, der Koordinatenursprung ist ein Punkt des Graphen, W(2|4) ist Wendepunkt, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3

d, der Graph geht durch den Koordinatenursprung und hat in S(2|1) einen Sattelpunkt.

Answer 1

Hallo,

Aufgabe a)

der Graph hat im Punkt T(1|0) einen Tiefpunkt und im Punkt H(3|4) einen Hochpunkt

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b\\f(1)=0\Rightarrow a + b + c + d = 0 \\f'(1)=0\Rightarrow 3a+2b+c=0\\f(3)=4\Rightarrow 27a + 9b +3c+d=4\\f'(3)=0\Rightarrow 27a+6b+c=0$$

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Comments

ahh ja vielen dank schonmal.

das heißt ich muss a, b, c & d einzeln abarbeiten? ich dachte das wäre im gesamten gemeint und war deswegen überfordert.

liebe grüße & vielen dank

miraa

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Ja, es sind vier Aufgaben.

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Okay vielen vielen Dank wirklich !!

Sollte ich auf weitere Probleme stoßen, würde ich mich nochmal melden :D

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Das kannst du gerne machen.

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für a, habe ich jetzt

f(x)=-x³+6x²-9x+4

kann das sein?

weiterhin hab ich irgendwie probleme ber der b mit der ersten info „der Koordinatenursprung ist Wendepunkt" aber ohne einen Anstieg m - was muss ich da machen?

Liebe Grüße

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die c hab ich jetzt probiert, komme aber auf komische ergebnisse

(a=-0,25  b=1,5  c=0  d=0)

wer kann helfen?

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a) ist richtig, c) rechne ich aus und stelle dann meine Ergebnisse ein.

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Das brauche ich nicht mehr, wie ich gerade sehe, weil Hogar schon alles berechnet hat.  

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das stimmt, dennoch vielen vielen dank für Ihre Hilfe - ich wäre hier sonst verzweifelt ❤️

Answer 2

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph die angegebenen Eigenschaften hat:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f'x(x)=6ax+2b$$

a, der Graph hat im Punkt T(1|0) einen Tiefpunkt und im Punkt H(3|4) einen Hochpunkt

$$f(1)=a+b+c+d=0$$$$f(3)=27a+9b+3c+d=4$$$$f'(1)=3a+2b+c=0$$$$f'x(x)=18a+2b=0$$$$9a+b=0$$$$b=-9a$$$$c=-3a-2b=(-3+18)a=15a$$$$d=-a-b-c=(-1+9-15)a=-7a$$$$(27-81+45-7)a=4$$$$-16a=4$$$$a = -1/4 ; b =9/4 ; c = -15/4 ; d=7/4$$$$f(x)=-0,25 x^3 + 2,25x^2 - 3,75x+1,75$$

b, der Koordinatenursprung ist Wendepunkt, der Punkt H(3|2) ist Hochpunkt.

$$f(0)=d=0$$$$f''(0)=2b=0$$$$b=0$$$$f(3)=27a+3c=2$$$$f'(x)=27a+c=0$$$$2c=2$$$$c=1$$$$a=-1/27$$$$f(x)=-1/27x^3+x$$

c, der Koordinatenursprung ist ein Punkt des Graphen, W(2|4) ist Wendepunkt, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3

$$f(0)=d=0$$f(2)=8a+4b+2c=4$$$$f'(2)=12a+4b+c=-3$$$$f'x(x)=12a+2b=0$$$$b=-6a$$$$-8a+c=2$$$$-12a+c=-3$$$$4a=5$$$$a=5/4  ; b=-15/2  ; c=12  : d=0$$$$f(x)= 1,25x^3 - 7,5x^2 +12 x$$

d, der Graph geht durch den Koordinatenursprung und hat in S(2|1) einen Sattelpunkt.

Comments

Vielen Dank !!

bei d, hab ich jetzt

f(0)=0+0+0+d=0

f(2)=8a+4b+2c+d=1

f'(2)=12a+4b+c=0

f''(2)=12a+2b=0

und komme dadurch auf

a=0,125 b=-0,75 c=1,5 d=0

also f(x)=0,125x³-0,75x²+1,5x

kann mir jemand eine kurze Rückmeldung geben, ob ich das richtig gemacht habe?

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Habe ich auch raus.

:-)

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perfekt GANZ GROẞER DANK AUCH AN SIE !! :D