Du da gäbe es mehrere Möglichkeiten:
p ( t ) := - 8 t ³ + 60 t ² + 52 t + 800 - 1 500 = ( 1a )
= - 8 t ³ + 60 t ² + 52 t - 700 = 0 ( 1b )
Wie sieht es mit der Asymptotik aus? Ungerade Polynome kommen an sich von ( - °° ) ; aber da wir einen negativen ===> Leitkoeffizienten haben, hast du eine gespiegelte Situation.
( Kommt von ( + °° ) und haut ab nach ( - °° ) )
Eine erste Orientierung erlaubt dir bereits die cartesische Vorzeichenregel ( CV )
( von der ihr nichts erfahrt, weil sie so wichtig ist; aber tröste dich. Mir ging's nicht besser. )
Gleich für t < 0 ist genau eine Nullstelle garantiert; mit der Signatur
( + ; + ; - - ) ( 1c )
ergibt ( 1b ) nämlich einen VZW .
( Wolfram malt dir übrigens die Kurve raus; es handelt sich offenbar um eine unphysikalische Nullstelle. )
Positiv hüllt sich die CV zwar in sibyllinisches Schweigen; aber in Anbetracht der Tatsache, dass dir die Aufgabe bereits die Existenz von Wurzeln versichert, offenbar zwei. ( Ich komme darauf zurück. )
Jetzt müssen wir unbedingt noch eine formale Frage klären. In der Algebravorlesung lernt man zur Not die Alternative: Entweder ein kubistisches Polynom ist das ===> Minimalpolynom seiner drei ( reellen oder komplexen ) Wurzeln. Oder aber es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab.
Um eine Formulierung zu gebrauchen, die das Fischerlexikon in anderem Zusammenhang verwendete:
" Bis in die 1950_er Jahre hinein wusste man über den RLF - GAR NICHTS . "
Und seitdem haben wir den äußerst bemerkenswerten ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) , der allerdings nur Aussagen über primitive Polynome macht.
( Hey; der Satz ist noch so neu, dass die mittelalterlichen Kopisten in Wiki et. al. , die sich gegenseitig falsch abschreiben, diesen Umstand bis Heute nicht bemerkt haben. )
Die primitive Form von ( 1b ) lautet
p ( t ) = b3 t ³ + b2 t ² + b1 t + b0 = 0 ( 2a )
b3 = 2 ; b2 = ( - 15 ) ; b1 = ( - 13 ) ; b0 = 175 ( 2b )
( Wir wollen verabreden, dass wir für die Koeffizienten primitiver Polynome stets den Buchstaben b_i verwenden. )
Und mit b3 = 2 sind eben laut SRN neben ganzzahligen Kandidaten ( die ja immer im Rennen sind ) nur noch halbzahlige zugelassen.
( Damit können wir sicher sein, dass Wolframs Wurzeln tatsächlich irrational sind und nicht etwa Brüche der unhandlichen Periodenlänge 4 711. )
Jetzt zeichnet sich doch folgende Situation ab: Für t > 0 erwarten wir ein ( lokales ) Maximum von ( 1b ) ; d.h. die Kabine klettert höher als 800 m . Und links von diesem Maximum liegt die Nullstelle, die du suchst. ( Und rechts kommt sie wieder runter; die zweite Nullstelle. )
Mal eine Fangfrage; du weißt doch. Ich bin sehr listig.
Kennst du? Augsburger Puppenkiste; Blechbüchsenarmee?
" Unser General Blech ist nicht nur ungeheuer mutig, sondern auch sehr listig ... "
In diesem Sinne. Mit der CV wäre immer noch vereinbar, dass du eine doppelte Nullstelle hast, mithin die Nullstelle von ( 1b ) und das Maximum zusammen fallen.
Geht das?
By no means.
Die ( reellen oder komplexen ) Wurzeln von Minimalpolynomen sind STETS EINFACH .
Tjaa; so feine Sachen lernt man in der Algebravorlesung ....
Der Beweis liegt auf der Hand. Stell dir vor, x0 sei eine irrationale Zahl, deren Minimalpolynom f ( x ) vom Grade 4 711 ist. Wenn aber x0 doppelt, wäre gleichzeitig f ' ( x0 ) = 0 eine " noch minimalere " Beziehung in x0 lediglich vom Grade 4 710 ...
Mit den modernen Metoden, die euch zur Verfügung stehen, sollte die Lösung dieser Aufgabe eigentlich ein Klax sein. Zunächst die erste Ableitung von ( 1b ) Null setzen, um dieses Maximum zu eruieren:
- 24 t ² + 120 t + 52 = 0 ( 3a )
t ² - p t + q = 0 ( 3b )
p = 5 ; q = ( - 13/6 ) ( 3c )
Mitternachtsformel sollteste drauf haben; an Hand CV ist q < 0 übrigens hinreichend für zwei reelle Extrema ( mit entgegen gesetztem Vorzeichen. )
Ich hab eben gespickt; Wolfram gibt die Gipfelhöhe zu 870 m . Ich selbst entstamme einem Welt-Elektronikkonzern; und ich stimme völlig mit meinem Chef überein, wenn er sagt
" Da doch alles nur Näherungsverfahren sind. Verwendense doch was Robustes, ich meine fort gesetzte Intervallhalbierung. " ( " Telefonbuchsuche " )
Wahl weise hast du zwei Abbruchkriterien;
1) wenn die Mantisse von t0 die geforderte Stellenzahl überschreitet
2) Wenn f ( t0 ) dem Betrage nach < € .
Ich musste seiner Zeit noch das Hornerschema auf der HP programmieren; ein Knopfdruck, und in 5 sec hast du den Funktionswert. ( Horner zielt darauf ab, dass sich Fehlerquellen gegenseitig weg interferieren. )
Ich hab mir sagen lassen, ihr mit eurem GTR habtr da heute ganz fantastico Möglichkeiten.
