Beweise für zwei positive reelle Zahlen x und y: x^2 ≤ y^2 <=> x ≤ y

Question

Ich muss in Mathe etwas beweisen, allerdings habe ich keine Ahnung wie man sowas macht. Die Aufgabe lautet:

Beweise für zwei positive reelle Zahlen x und y

x^2 ≤ y^2 <=> x ≤ y

Ich verstehe was gefragt wird, und ich hätte jetzt einfach nur eine Zahl eingesetzt und dann gesagt: natürlich ist das nicht gleich. Aber ich weiß einfach nicht wie ich bei so einer Aufgabe anfangen soll.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweise für 2 positiv reelle Zahlen: x^2 <= y^2 <==> x <= y</p>

Stichworte: quadrat,beweis

Komme bei der Aufgabe gerade nicht weiter.

(x^2 <= y^2) <==> (x <= y)

Answer 1

x² ≤ y² ⇔ x² - y² ≤ 0 ⇔ (x - y)·(x + y) ≤ 0 ⇔x - y ≤ 0 ⇔ x ≤ y.

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Ich verstehe nur nicht wie du von diesen schritt

x^2 ≤ y^2

auf diesen kommst

⇔ x^2 - y^2 ≤ 0

:)

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Ok hab schon verstanden! Danke nochmal!

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Hey eine frage:

(x - y)·(x + y) ≤ 0

⇔x - y ≤ 0

Wäre nett wenn du mir doch nochmal diesen schritt erklären könntest. Warum darf ich das (x + y) wegstreichen.

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Nach Voraussetzung ist x+y positiv. Eine Ungleichung kann man durch eine positive Zahl dividieren, ohne dass sich am Kleiner- bzw. Größerzeichen etwas ändert. Hier wird also durch x+y dividiert, was zum gewünschten Resultat führt.

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Kann man auch durch (x - y) dividieren?

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Nur wenn x≠y ist. Außerdem ändert sich das Ungleichheitszeichen, wenn x<y ist.

Answer 2

Nenne die genaue Aufgabe! wenn da etwa steht gibt es x,y in R für die gilt .... dann.

 richtig ist die Aussage für x,y=1,1 und 0,1 und 1,0 und 0,0

Gruß lul

Answer 3

Achsooooo.

Ok. Du hast hier eine sogenannte Äquivalenzbeziehung, ausgedrückt mit diesem Symbol <=>. Das lässt sich auch so umschreiben als => (Hinrichtung; nicht die Todesstrafe^^) und <= (Rückrichtung), sogenannte Implikationen. Das bedeutet also, dass du zwei Richtungen zeigen musst:

(i) y ≥ x => y^2 ≥ x^2

(ii) y^2 ≥ x^2  =>  y ≥ x

Nun gibt es theoretisch verschiedene Möglichkeiten, beide Implikationen zu beweisen. Aber die Realität verrät einen, dass nicht immer jede Strategie funktioniert. (ii) könntest du zum Beispiel mit  einem Widerspruchsbeweis machen. Du hast y^2 ≥ x^2 als Voraussetzung. Du nimmst jetzt an, dass y < x gelte. Damit versuchst du nun einen Ausdruck zu erzeugen, der im Widerspruch zur Voraussetzung steht, womit die Behauptung (ii) folgt. (i) ist dann einfach. Du hast dort quasi vereinfacht die Implikation A => B zu stehen. Das ist aber logisch gleichwertig zur Aussage ¬B => ¬A, was bei (ii) eine Negierung darstellt, womit schon (i) bereits gilt. Fertig.

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Klingt kompliziert.

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Ist aber auch eine Möglichkeit, wenn man jetzt nicht die Idee hätte wie du, es mit der binomischen Formel zu machen.

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Hab es versucht nachzuvollziehen aber verstehe noch nicht ganz wie so ein Widerspruchsbeweis funktioniert.

Mit der Implikation klingt das total logisch.

Ich verstehe noch nicht ganz wieso ich annehme das y < x gelte. Wieso nicht ≤ ? Oder meintest du das? Und ich bin mir nicht ganz sicher wie ich dann einen Ausdruck daraus erzeugen kann, der im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

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Bei einem Widerspruchsbeweis geht man grob so vor. Man soll eine Implikation A => B zeigen. Nach etwas längerem Überlegen, hat man dann festgestellt, dass man den sogenannten Widerspruchsbeweis in Erwägung ziehen sollte. A ist hier die Voraussetzung und B die Behauptung. Zu Beginn werde ich aber ¬ B annehmen. Also

,,Sei A gegeben. Angenommen es gelte ¬ B.''

Jetzt baut man auf diese Annahme auf und fängt an Schlussfolgerungen zu ziehen, unzwar solange/soviele, bis man merkt, dass an der bisher gemachten Argumentationskette etwas ,,faul'' ist, d.h., diese steht im Widerspruch zur Voraussetzung. Dann lässt sich damit sagen, dass die Behauptung B folgt.

Nun zu meiner vorgeschlagenen Strategie. Zugegeben, sie ist nicht schön ausgesucht. Wenn man y ≥ x hier als Behauptung hat, dann wird ¬ (y ≥ x) also y < x angenommen. Soweit die THEORIE. Aber, dann habe ich im Nachhinein feststellen müssen, dass das doch nicht so super ist, damit zu arbeiten. Man hat zwar jetzt y < x als Voraussetzung, aber auch nicht vielmehr gewonnen, da nicht ausgeschlossen werden kann, dass y und x beide positiv/negativ, bzw. unterschiedliches gilt. Das macht die Sache ziemlich schnell unübersichtlich. Tja... . Zu früh gefreut. Aber mal davon abgesehen, dass hier ein Widerspruchsbeweis doch nicht die beste Wahl ist, kann man mit dieser Strategie dennoch Behauptungen schön beweisen. Klassiker ist mit einem Widerspruchsbeweis, die Irrationalität von √2 zu zeigen, also, dass sich √2 nicht als eine rationale Zahl darstellen lässt.

Answer 4

9≤16⇔3≤4

Erste Beweisrichtung: Beginne mit 9≤16. Dann kannst du durch Ziehen der positiven Wurzel auf beiden Seiten folgern 3≤4.

Zweite Beweisrichtung: Beginne mit 3≤4. Dann verwende den Satz: Für positive Zahlen a und b mit a≤b gilt nach Quadrieren auf beiden Seiten a²≤b².