Induktion mit einem Produktzeichen

Question

  n

  ∏ (2²ⁱ + 1) = (²ⁿ⁺¹ -1) = 2²⁺¹ -1

i = 1

Ich muss mit der vollständigen Induktion dies beweisen. Allerdings weiß ich ab einem bestimmten Punkt nicht weiter.

Anbei ein Foto von meiner bisherigen Rechnung. Ich hoffe ich habe das halbwegs richtig gemacht.

Comments

Hmm hab hier nochmal ein Foto gemacht. Befasse mich das erste mal mit Induktionen und unser Prof. gibt sofort Vollgas.

Answer 1

$$\prod _ { i = 0 } ^ { n } ( 2 ^ { 2 ^ { i } } + 1 ) = 2 ^ { 2 ^ { n + 1 } } - 1\\\text{Indutkionsanfang}\\n=0\\\text{linke Seite}: \ {2}^{2^0}+1=2^1+1=3\\\text{rechte Seite}: \ {2}^{2^{0+1}}-1=2^2-1=3\\\text{Induktionsvoraussetzung: Das oben gelte ;)}\\\text{Induktionsschritt}\\\text{für}\ n+1\\\prod _ { i = 0 } ^ { n+1 } ( 2 ^ { 2 ^ { i } } + 1 )=\left({2}^{2^{n+1}}+1\right)\cdot \prod _ { i = 0 } ^ { n } ( 2 ^ { 2 ^ { i } } + 1 )=\text{Nach Voraussetzung }\\\left({2}^{2^{n+1}}+1\right)\cdot \left({2}^{2^{n+1}}-1\right)= (\text{mit 3. bin. Formel})\\\left({2}^{2^{n+1}}\right)^2-1^2=\text{mit Potenzgesetz über potenzieren von Potenzen }\\{2}^{2\cdot\left(2^{n+1}\right)}-1=\text{mit Potenzgesetzen über Multiplikation von Potenzen}\\{2}^{2^{n+1+1}}-1={2}^{2^{n+2}}-1$$

Das dürfte es auch schon sein. Ist klar geworden, welche Potenzgesetze ich meine?

Gruß

Smitty

Answer 2

Hallo

 schon den Anfang verstehe ich nicht.

n=0 Behauptung falsch :

links :2^0+1=2 , rechts 2^1-1=1 nicht gleich

n=1 :(2^0+1)*(2^2+1)=10  rechts 2^3-1=7.

also muss was an deiner Formel falsch sein . auch wenn man das Produkt bei i=1 anfangt steht da  für i=1 5=7

was du in der Induktion machst , irgendwo 1+ n+1 addieren verstehe ich auch nicht.

Aber da die Formel garantiert falsch ist, kannst du sie nicht beweisen

Gruß lul