Vollständige Induktion: Wie komme ich von einem Schritt zum anderen?

Question

Aufgabe:

n

∑(i+1)x2^i = n x 2^n+1

i=1
Problem/Ansatz:

Wenn ich n für n +1 nachweisen will, steht in den Lösungen:

n+1              n

∑(i +1)2^i = (∑(i+1)2^i) + (n+2)2^n+^1 = n2^n+^1 + (n+2)2^n+^1 = (n+1)2^n+^2

i=1               i=1

Ich verstehe nicht wie man von (∑(i+1)2^i) + (n+2)2^n+^1   auf  n2^n+^1 + (n+2)2^n+^1  kommt.

Jetzt schonmal danke für die Hilfe!

Answer 1

Hallo fxxo,

du verwendest die Induktionsvoraussetzung. Diese lautet: \(\sum_{i=1}^{n}{(i+1)\cdot 2^i}=n\cdot (2^n+1)\). Du nimmst ja an, dass \(\sum_{i=1}^{n}{(i+1)\cdot 2^i}\) gleich \(n\cdot (2^n+1)\) ist; daher kannst du es ersetzen im Induktionsschritt.