Vollständige Induktion: Von wo hole ich mir (1+x)?

Question

Guten Tag zusammen

Ich habe folgende Aufgabe:

Wir betrachten die Familie der Funktionen für n ∈ N
f_n : R ≥−1 → R
x → (1 + x)ⁿ

wobei R≥−1 := { x ∈ R | x ≥ −1 } ist.
Es ist gelegentlich nützlich, diese Funktionen mit linearen Funktionen nach unten abzuschätzen. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass im Definitionsbereich R≥−1 für alle n ∈ N

P(n) : (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

gilt.

Mein Lösungsversuch:

Induktionsverankerung:

P(0): (1+x)⁰ ≥ 1+0*x

             1   ≥ 1

Induktionsschritt:

P(k): (1+x)^k ≥ 1+kx  --> dies dürfen wir annehmen

P(k+1)

Generell: (1+x)^k+1 ≥ 1 + (k+1)*x

Falls x=-1:

(1-1)^k+1≥ 1 + (k+1)*-1 ==>  0^k+1 ≥ 1 -k-1 ==> 1 ≥ -k

Dies stimmt, da wir für k nur natürliche Zahlen einsetzen dürfen.

Falls x > -1:

(1+x)^k+1 ≥ 1 + kx +x ==>  (1+x)^k * (1+x) ≥ ???

Wie komme ich hier weiter?

Dies wäre die Lösung meines Lehrers:

(1 + x)^k+1 = (1 + x)^k (1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x .

Bei der Lösung meines Lehrers komme ich nicht ganz nach, von wo er das Fett markierte (1+x) hat, beim kursiven (1+x) ist es mir klar, dies habe ich bei meinem Versuch ja auch.

Vielen Dank im Voraus!
LG
Pfizer

Answer 1

Aloha :)

Der Induktionsanfang ist klar, den hast du ja auch. Als Induktionsschritt schlage ich vor:

$$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot(1+x)\ge(1+nx)\cdot(1+x)=1+nx+x+nx^2$$$$\phantom{(1+x)^{n+1}}\ge1+nx+x=1+(n+1)x$$

Das erste \(\ge\) gilt wegen der Induktionsvoraussetzung und weil \(x\ge-1\) ist.

Comments

Guten Tag Tschakabumba

Danke vielmals. Ich komme leider noch nicht ganz draus.

Sie haben ja (1+nx)*(1+x) ausgerechnet. Dies gibt: 1+nx+x+nx²

Jetzt von wo kommt 1 + nx +x ?

Vielen Dank im Voraus!

LG
Pfizer

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Das \(nx^2\) ist ja sicher \(\ge0\), das wurde einfach weggelassen:$$1+nx+x+\underbrace{nx^2}_{\ge0}\ge1+nx+x$$

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Danke vielmals. Das heisst ich kann das einfach weglassen. Ist das bei dieser Aufgabe das gleiche?

Zeigen Sie, dass das Prädikat

P(n) : n! > 2ⁿ

auf dem Universum L = { n ∈ N | n ≥ 4 } gilt.

Lösung:

Ich springe hier jetzt gleich zur Lösung:

(k + 1)! = k!(k + 1) > 2^k (k + 1) > 2^k2 = 2^k+1

Wurde hier auch 2^kk wegelassen? Oder wie kommt man von 2^k * (k+1) auf 2^k2?

LG
Pfizer