Periodische Funktionen erkennen und die Periodenlänge bestimmen

Question

Wie errechne ich die Periode bei h(x)= x cos x und g(x)= sin x/cos x?

Erst mal muss man schauen, ob die Funktionen periodisch sind.

bei sin (4x-6) wäre die Periode 2π/4, aber bei den obigen Funktionen komme ich nicht weiter

Answer 1

g(x)=tan(x). Wenn f eine Winkelfunktion (sin, cos, tan, cot), dann hat f(2axπ/p+b) die Periode p. h(x) hat keine immer gleiche Periode.

Answer 2

Bei x*cos(x) kann es nicht periodisch sein, weil z.B. die Folge der

Funktionswerte von 2*n*pi ( Das ist , weil cos(2*n*pi gleich 1 ist

die Folge mit den Werten 2*n*pi  )  streng monoton steigend ist,

die Werte können sich also nicht wiederholen, also

keine Periodizität.

Bei sin(x) / cos(x) ist jedenfalls jeweils nach 2pi wieder der

gleiche Wert da, wäre nur zu prüfen, ob es sich nicht sogar noch

schneller wiederholt.

Ein Blich auf den Graphen zeigt: Ja, von -pi/2 bis pi/2 wiederholt sich

nichts, aber danach fängt es wieder von vorne an.

Die Periode ist also pi.  Bleibt zu zeigen:

sin(x+pi) / cos(x+pi)  =  sin(x)/cos(x) .

Das gelingt mit den einschlägigen Formeln leicht.