Transformieren sie die Bewegungsgleichung auf ein Anfangswertproblem 1. Ordnung

Question

Also ich soll folgende DGL transformieren und zwar zur 1. Ordnung

$$q'' = -\left( \frac1{\left\lVert q\right\rVert^3 }\right) \cdot q, \quad q(0) = \begin{pmatrix}  0,4 \\ 0\end{pmatrix} \text{ und }\space q'(0) = \begin{pmatrix}  0 \\ 2\end{pmatrix} $$

Also ich weiß ja folgendes $$\begin{aligned} f_1 &= q &f'_1 = f_2 \\ f_2 &=q' & f'_2=q''  \end{aligned}$$

Wenn ich jetzt eine Matrix bilde komme ich irgenwie durchheinander, da ich ja kein q' gegeben habe, sondern nur das AWP  $$f = \begin{pmatrix}f'_1\\f'_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -(1/||q||^3) * q & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1\\f_2 \end{pmatrix}$$

Dies wäre mein Ansatz, aber dieser sieht irgendwie flach aus.

Ich würde mich freuen, wenn mir Jemand helfen könnte :)

Answer 1

Hallo Nic,

Die DGL ist nicht linear, folglich kannst Du sie nicht ohne weiteres in der Matrizenform schreiben, solange Du die DGL nicht linearisierst. Durch die Substitution \(f_1=q\) und \(f_2=q'\) erhältst Du zwei Gleichungen 1.Ordnung: $$\begin{aligned} f_1' &= f_2\\ f_2' &= \frac{-f_1}{\left\lVert f_1\right\lVert^3} \end{aligned}$$ mehr ist es nicht.

Answer 2

Hallo

 du hast doch q'=f2, in deiner Matrix  fehlt, dass f1'=f2  wenn du ausmultiplizierst bekommst du ja f1'=0, also ist die erste Zeile falsch,  sie zweite Zeile enthält q das du ja gerade durch f1 ersetzt hast, ist so also auch falsch, wenn vielleicht auch richtig gemeint.

 q darf nicht mehr vorkommen.

dass du f= an den Anfang schreibst ist auch etwas, was ich nicht verstehe.

Gruß lul

Comments

Also erhalte ich mit der Hilfe von Walter Salomon das folgende System?

$$ \begin{pmatrix}f'_1\\f'_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ y  & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1\\f_2 \end{pmatrix}$$

Jedoch stehe ich grade auf dem Schlauch, wie man y so umformt, dass es passt. Es gilt ja $$f'_2 = -\left( \frac1{\left\lVert f_1\right\rVert^3 }\right) \cdot f_1 $$ ||-|| ist die Euklidische Norm.