Beweis von (A\B) \C= A\ (BUC)

Question

Ich muss diese Aufgabe beweisen und würde mich freuen falls ihr mein Gedankengang bzw. Lösung überprüfen könnt, da ich bisher noch nicht viel Beweise gemacht habe und mir das Konzept neu ist.

Ich habe zu beweisen:

(A\B) \ C = A\ (BUC)

Von der Logik her bedeutet der ester teil '' A ohne B und ohne C''

und der zweite Teil A ohne die Vereinigung von B und C. Daraus lässt sich schliesen dass A=A rauskommen wird.

Mathematisch würde ich es so beweisen:

(A\B) \ C = A\ (BUC)

A= (A\B) ∩ (A\C) (Satz von de Morgan)

A= A ∩ A

A=A (Satz der Idempotenz)

Habe ich die Beweisführung richtig gemacht oder habe ich was vergessen?

Answer 1

warum soll A=A dazu beitragen, dass die Mengengleichheit erfüllt ist? Ich kann genauso gut sagen, dass B=B, bzw. C=C gilt, denn jede Menge ist zu sich selbst gleich. Aber habe ich jetzt was davon gewonnen? Nein. Mache es lieber so, indem du zum Beispiel bei der linken Seite anfängst und sie solange umformst, bist du auf der anderen Seite rauskommst. Das sollte von der Struktur so aussehen:

$$ x\in (A\setminus B)\setminus C\Leftrightarrow (x\in A \land \neg (x\in B ))\land \neg (x\in C)\Leftrightarrow ...$$

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort!

Ist die folgende Beweislage richtig?

$$ x∈(A∖B)∖C⇔(x∈A∧¬(x∈B))∧¬(x∈C) \\[20pt] x∈A∖(B ∪ C) ⇔ x∈A∧¬(x∈B ∨ x∈C) $$

(Satz von de Morgan)

$$⇔ x∈A ∧ (¬(x∈B) ∧ ¬(x∈C)) \\ ⇔(A∖B)∖C $$

---

Ja, es geht aber noch eleganter, damit es einfach flüssiger zu lesen ist:

$$ x\in (A\setminus B)\setminus C\Leftrightarrow (x\in A \land \neg (x\in B ))\land \neg (x\in C)\\\Leftrightarrow x\in A \land (\neg (x\in B )\land \neg (x\in C))\\\Leftrightarrow x\in A\land \neg (x\in B \lor x\in C) \\\Leftrightarrow x\in A \land \neg(x\in (B \cup C))\Leftrightarrow x\in A\setminus (B \cup C)$$