Question

Aufgabe 3 Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussage und bestimmen Sie ihre Verneinung:

∀x∃y(x < y) . Der Definitionsbereich von x und y ist R. Die Lösung ist wahr. Aber wie fidnet man das heraus?

Answer 1

Nun, die Aussage bedeutet in Worten: "Zu jeder reellen Zahl gibt es eine größere reelle Zahl."

Diese Aussage ist wahr.

Beweisen kann man das z. B einfach dadurch, dass man zu  jeder reellen Zahl x angibt, wie sich die Zahl y, die größer ist als x und deren Existenz durch die Aussage behauptet wird, finden lässt:

Sei x eine beliebige reelle Zahl. Setzt man nun y = x + 1, dann gilt:  x < x + 1 = y, also x < y

Also: Zu jeder reellen Zahl x findet man durch Addition von 1 (oder einer beliebigen anderen positiven reellen Zahl) eine größere reelle Zahl y.

 

Die Verneinung dieser Aussage ist: ∃ x ∀ y ( x >= y ).

Durch Widerspruchsbeweis lässt sich leicht zeigen, dass diese Aussage falsch ist. Wäre sie nämlich wahr und wäre  x die Zahl, die größer gleich allen anderen Zahlen ist, dann müsste für x insbesondere auch gelten:

x ≥ x + 1 <=> 0 ≥ 1

was der totalen Ordnung des Körpers der reellen Zahlen widerspricht. Daher ist die Annahme, die Aussage sei wahr, falsch und somit ist gezeigt, dass die Aussage falsch ist.