Paramtergleichung von Geraden bestimmen (Abstand, VEktoren)

Question

Hallo ,

die Aufgabe lautet : Gegeben sind die Ebenen E: 4x2+ 3x3= 15 und F: 6x1- 2x2+ 3x3= 15 . Die Menge aller Punkte, die von E den Abstand 3 und von F den Abstand 6 haben, liegen auf vier Geraden.

Bestimmen Sie Parmetergleichungen dieser vier Geraden.

Es ist ja klar, dass der Rictungsvektor u aller vier Geraden = n_E x n_F ist.

Weiter komme ich nicht. Wie bekomme ich die Stützvektoren? In den Lösungen wurden die zu E und F parallelen Ebenen E1, E2, F1 und F2 aufgestellt, indem sie irgendwie auf E1 : 4x2+ 3x3= 0  ; E2 : 4x2+ 3x3= 30 ; F1 : 6x1- 2x2+ 3x3= -27 ;

F2 : 6x1- 2x2+ 3x3= 57

Wie kommt die Lösung darauf und wie muss man von den vier Ebenengleichungen weitermachen? Die Lösungen geben mir nur schlicht das Ergebnis...

Answer 1

E: 4x2+ 3x3= 15

hat Normalenvektor   n = ( 4;3;0)^T  mit der Länge √(16+9) = 5

also Normaleneinheitsvektor  o,2*( 4;3;0)^T  .

Dann ist die Hesse-Normalenform von E

0,2*(4x2+ 3x3)= 3  .

E hat also vom Nullpunkt den Abstand 3 und die zu E parallelen

Ebenen, die von E den Abstand 3 haben, haben vom Nullpunkt die

Abstände 0 bzw. 6 und damit sind deren Gleichungen

E1:   0,2*(4x2+ 3x3)= 0   bzw.

E2:  0,2*(4x2+ 3x3)= 6  <=>  4x2+ 3x3 = 30

Für F entsprechend     n = ( 6;-2;3)^T  mit der Länge √(36+4+9) = 7

Also   Normaleneinheitsvektor  1/7*( 6;-2;3)^T  und demnach HNF:

F:    (1/7) * (6x1- 2x2+ 3x3)= 15/7

und F1 bzw. haben vom Nullpunkt die Abstände

15/7 - 6  = -27/7  bzw.   15/7+6=57/7 also

F1:    (1/7) * (6x1- 2x2+ 3x3)= -27/7  <=>     6x1- 2x2+ 3x3= -27

F2=   (1/7) * (6x1- 2x2+ 3x3)= 57/7  <=>     6x1- 2x2+ 3x3= 57.

Und die 4 Geraden bekommst du durch E1∩F1 und  E1∩F2

und  E2∩F1 und  E2∩F2.

Comments

0,2*(4x2+ 3x3)= 3   Wie kommt man auf die =3

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Gut habs jetzt selbst auf eine 2 Zeilenlösung gebracht ;)

Schade, dass hier alle soooo lange Lösungen anbieten...