Vollständige Induktion: Termumformung

Question

habe Probleme bei folgender Aufgabe:

zeige für alle natürlichen zahlen dass

$$\sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = 1 - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Für n = 1 stimmt es.  Induktionsschritt: Zu zeigen

$$\sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = 1 - \frac { 1 } { n + 2 }$$

Unter Verwendung der Annahme ergibt sich:

$$\sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } + 1 - \frac { 1 } { n + 1 } $$

Weiter komme ich leider nicht.

Comments

Induktion ist nicht notwendig. Das ist eine einfache Teleskopsumme.

Answer 1

Hi,

das sieht doch schon gut aus. Einfach stur weitermachen ;).

$$\sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } + 1 - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Die 1 würde ich einfach so stehen lassen. Brauchen wir ja eh. Die beiden Brüche bringen wir auf den gleichen Nenner und verrechnen sie ;).

$$= 1 + \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } - \frac { n+2 } { (n + 1)(n+2) } = 1 + \frac{1-n-2}{(n+1)(n+2)}$$

$$= 1 + \frac{-n-1}{(n+1)(n+2)} = 1 - \frac{n+1}{(n+1)(n+2)} = 1 - \frac{1}{n+2}$$

Und damit sind wir genau da, wo wir sein wollen ;).

Grüße

Answer 2

Der erste Summand auf der rechten Seite lässt sich zerlegen:$$\begin{aligned} \dots &= \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } + 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \\[0.5cm] &= \frac { (n+2)-(n+1) } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } + 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \\[0.5cm] &= \frac { 1 } { n + 1 } - \frac { 1 } { n + 2 } + 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \\[0.5cm] &= 1 - \frac { 1 } { n + 2 }. \end{aligned}$$Fertig!