Aufgabe: beweisen sie folgenden Zusammenhang formal mittels vollständiger Induktion:
method(n)= (\( 3^{n} \) -4 \( \sum\limits_{i=0}^{n-2}{3^{i}} \))
method(n) = 9*method(n-2)-16
Induktionsvoraussetzung für n-1: method(n-1)=(\( 3^{n-1} \) -4 \( \sum\limits_{i=0}^{n-3}{3^{i}} \))
das bedeutet also für method(n+1) = 9*method(n-1)-16
somit ergibt sich folgende Gleichung: 9*(\( 3^{n-1} \) -4*\( \sum\limits_{i=0}^{n-3}{3^{i}} \))-16
Ziel der Umformung: (\( 3^{n+1} \) -4 \( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{3^{i}} \))
Problem/Ansatz:
Ich komme einfach nicht annähernd auf das gezielte Ergebnis, wenn ich die Summe um n-1 & n-2 erweitere komme ich auf folgenden Zwischenschritte:
Start: 9*(\( 3^{n-1} \) -4*\( \sum\limits_{i=0}^{n-3}{3^{i}} \))-16
\( 3^{n+1} \) +9*(-4*\( \sum\limits_{i=0}^{n-3}{3^{i}} \))-16
\( 3^{n+1} \) +9*(4*\(3^{n-1} \)+4*\(3^{n-2} \)-4*\( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{3^{i}} \))-16
\( 3^{n+1} \) +4*\(3^{n} \)+12*\(3^{n} \)+9*(-4*\( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{3^{i}} \))-16
\( 3^{n+1} \) +16*\(3^{n} \)+9*(-4*\( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{3^{i}} \))-16
Ist mein Vorgehen falsch?
