ein Bruch mit Periode ist letztlich eine unendliche geometrische Reihe: $$3,3\overline{24} = 3,3 + \frac1{10} \left( \frac{24}{100} + \frac{24}{100^2} + \frac{24}{100^3} + \dots\right) = 3,3 + \frac{24}{10} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{100^i}$$ und dafür gibt es eine Formel: $$\sum_{i=0}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q}$$ .. noch aufpassen, dass \(i\) bei \(1\) und nicht bei \(0\) beginnt - also ist $$\sum_{i=1}^{\infty} q^i = \left( \sum_{i=0}^{\infty} q^i \right) - q^0= \frac{1}{1-q} - \frac{1-q}{1-q} = \frac{q}{1-q}$$ in unserem Fall ist \(q=1/100\). Einsetzen gibt dann: $$3,3\overline{24} = 3,3 + \frac{24}{10} \cdot \frac{1/100}{1 - 1/100} = 3,3 + \frac{24}{10} \cdot \frac{1}{99} \\ \quad = \frac{33}{10} + \frac{8}{330} = \frac{1089+ 8}{330} = \frac{1097}{330}$$
