Vergleiche 3,14 (Periode 14) und 3,141 (Periode 41). Welche ist kleiner?

Question

Zwei Dezimalzahlen sollen der Größe nach geordnet werden. 3,14 (14 ist eine Periode) und 3,141(41 ist eine Periode). Frage sind diese beiden Dezimalzahlen gleich groß oder bricht man an einer beliebigen Stelle nach dem Komma ab und vergleicht dann (zB. 6 Stellen nach dem Komma) 3,141414 = 3,141414 oder bricht man beide Dezimalzahlen nach einer beliebigen Periodenwiederholung ab (zB. nach der 3. Periodenwiederholung
3,14141414    kleiner als    3,141414141 ((weil eine Stelle mehr)) ?

Answer 1

schöne Aufgabe!!


3,14 (wobei 14 eine Periode ist) = (314,14 - 3,14) / (100 - 1) = 311/99

3,141 (wobei 41 eine Periode ist) = (3141,41 - 31,41) / (1000 - 10) = 3110/990


311/99 * 10/10 = 3110/990


Die beiden sind also meiner Meinung nach gleich!!


Besten Gruß

Comments

Danke für Ihre Antwort. Frage wurde in der Klassenarbeit meiner Tochter gestellt (6. Klasse). Die Lehrerin meinte einen Unterschied feststellen zu können. Kann bzw. darf man Peiodenstriche beliebig setzten (wenn es doch dasselbe ist)?
Beste Grüße auch

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Mh, das ist eine interessante Frage.

Ich würde davon ausgehen, dass man den Periodenstrich möglich kurz setzt, also zum Beispiel statt

4,11 (11 Periode)

besser

4,1 (1 Periode).

Ich bin mir allerdings nicht völlig sicher :-(


Sehen Sie sich bitte auch die Antwort von Unknown - weiter unten - an, und stellen Sie die Frage

"Kann bzw. darf man Periodenstriche beliebig setzen?"

gegebenenfalls als neue Frage hier ins Forum.


Besten Gruß

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P.S.

Ich kann jetzt auch die Argumentation der Lehrerin nachvollziehen :-)

Wenn man nach z.B. zwei Perioden die beiden Zahlen vergleicht, dann hat man

3,1414 (zweimal die 14)

vs.

3,14141 (zweimal die 41)

Dann ist in der Tat die zweite Zahl größer als die erste, weil

3,14141 - 3,1414 = 0,00001

Dazu müsste man aber die Zahlen nach zwei Perioden abbrechen -

und ich weiß nicht, ob dies Sinn einer "Periodenschreibweise ist" :-D

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Brucybabe und Unknown haben Recht: \(3,\overline{14}=3,1\overline{41}\).

Wie man die Periodenstriche setzt, ist ja nicht immer egal, also kann man sie nicht immer beliebig setzen. Hier gibt es allerdings mehrere Möglichkeiten.

@Brucybabe: \(4,\overline{11}=4,\overline{1}\). Da gibt es kein besser oder schlechter. ;-) Aber es wird wohl niemand auf die Idee kommen, \(4,\overline{1111111111111111111}\) statt \(4,\overline{1}\) zu schreiben. Aber falsch wäre es nicht.

 Und wenn man nach ein paar Perioden abbricht, dann ist ja klar, dass es dann Abweichungen geben kann. Aber wie du gesagt hast: Das ist nicht der Sinn der Periode.

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@ Nick:

Merci vielmals :-D

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Vielen Dank, das hilft schon sehr.
Beste Grüße

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Um das vielleicht noch rechnerisch zu zeigen:

\(3,\overline{14}=3+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{14}{100^k}=3+\frac{14}{100}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{100^{k-1}}=3+\frac{14}{100}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{100^{k}} \)

\(=3+\frac{14}{100}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{100}}=3+\frac{14}{100}\cdot \frac{100}{99}=3+\frac{14}{99}=\frac{311}{99}\)

\( 3,1\overline{41}=3,1+\frac{1}{10}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{41}{100^k}=3,1+\frac{41}{1000}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{100^{k-1}}=3,1+\frac{41}{1000}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{100^{k}}=3,1+\frac{41}{1000}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{100}} \)

\(=3,1+\frac{41}{1000}\cdot \frac{100}{99}=3,1+\frac{14}{990}=\frac{311}{99} \)

Also beides gleich. Aber keine Angst, das wird nicht in der 6. Klasse erwartet ;-). Aber so sieht ein "schöner" mathematischer Beweis aus.

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Meine Güte! Ich geh jetzt mal davon aus, dass die Periodenstriche in diesen Fall dasselbe aussagen und es keinen Unterschied macht, weil Zitat:"Und wenn man nach ein paar Perioden abbricht, dann ist ja klar, dass es dann Abweichungen geben kann. Aber wie du gesagt hast: Das ist nicht der Sinn der Periode."
Danke für Ihre Weitergabe von Wissen!

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"Meine Güte!"

Nicht erschrecken lassen. Und bitte jetzt nicht versuchen, das einem Sechstklässler zu erklären ;-). Das ist schon Hochschulmathematik.

Also hier sind die die beiden Zahlen wirklich gleich. Aber es kann natürlich auch einen Unterschied machen, wie man Periodenstriche setzt. Z.B. \(3,\overline{363}\neq 3,3\overline{63}\).

Answer 2

Hi,

das hat nichts mit der Anzahl der Stellen zu tun. Die sind ja beide unendlich fortzuführen.

 

3,14(Periode) = 3,14141414...

3,141(41Periode) = 3,14141414...

 

Die beiden Ausdrücke sind also identisch.

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Für

3,14(Periode) = 3,14141414...

3,141 = 3,14100000..

Die orangenen Ziffern sind dieselben. Erst bei der roten Ziffer entsteht ein Unterschied. Hier ordne dann nach der Größe. Also 3,14(Periode) ist größer als 3,141

 

Grüße

Comments

Ich finde auch das sie identisch sind, jedenfalls rechnerisch. Kann man Periodenstriche beliebig setzten oder gibt es da Regeln?

Vielen Dank für Ihre Antwort!