Antwort mit KI erzeugt
a) Bestimme den Grenzertrag der Arbeit in Abhängigkeit der Parameter
Der Grenzertrag der Arbeit (\(GE_A\)) ist definiert als die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach dem Arbeitseinsatz \(A\). Gegeben ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:
\(y = cA^xK^zE^w\)
Um \(GE_A\) zu finden, leitet man \(y\) nach \(A\) ab:
\(\frac{\partial y}{\partial A} = c \cdot x \cdot A^{x-1} \cdot K^z \cdot E^w\)
Die partielle Ableitung zeigt, wie sich \(y\) ändert, wenn \(A\) marginal verändert wird, während \(K\) und \(E\) konstant gehalten werden. Somit lautet der Grenzertrag der Arbeit:
\(GE_A = c \cdot x \cdot A^{x-1} \cdot K^z \cdot E^w\)
b) Bestimme die Elastizität des Ertrages bei Veränderung des Arbeitseinsatzes
Die Elastizität des Ertrages bezüglich des Arbeitseinsatzes (\(\epsilon_{y,A}\)) misst die prozentuale Änderung des Ertrages \(y\) als Reaktion auf eine prozentuale Änderung des Arbeitseinsatzes \(A\). Sie ist gegeben durch:
\(\epsilon_{y,A} = \frac{d y}{d A} \cdot \frac{A}{y}\)
Aus Teil a) wissen wir, dass:
\(\frac{d y}{d A} = c \cdot x \cdot A^{x-1} \cdot K^z \cdot E^w\)
Einsetzen in die Formel der Elastizität ergibt:
\(\epsilon_{y,A} = (c \cdot x \cdot A^{x-1} \cdot K^z \cdot E^w) \cdot \frac{A}{cA^xK^zE^w}\)
\(\epsilon_{y,A} = x\)
Die Elastizität des Ertrages bezüglich des Arbeitseinsatzes ist gleich dem Exponenten \(x\) der Arbeit \(A\) in der Produktionsfunktion und somit unabhängig von den tatsächlichen Werten von \(A\), \(K\), \(E\) oder \(c\).
c) Forme die Produktionsfunktion äquivalent durch Bilden des natürlichen Logarithmus um
Um die Produktionsfunktion äquivalent durch Bilden des natürlichen Logarithmus umzuformen, wenden wir den natürlichen Logarithmus (\(ln\)) auf beide Seiten der gegebenen Gleichung an:
\(ln(y) = ln(cA^xK^zE^w)\)
Mit Hilfe der Logarithmusgesetze kann die rechte Seite umgeformt werden zu:
\(ln(y) = ln(c) + x \cdot ln(A) + z \cdot ln(K) + w \cdot ln(E)\)
Dies zeigt die log-lineare Form der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion.
Um zu zeigen, dass die Elastizität aus Teil b) auch berechnet werden kann aus \(\frac{\delta (ln y)}{\delta (ln A)}\), beachte, dass \(\delta (ln y)\) der prozentualen Änderung von \(y\) und \(\delta (ln A)\) der prozentualen Änderung von \(A\) entspricht. Daraus folgt:
\(\epsilon_{y,A} = \frac{\delta (ln y)}{\delta (ln A)} = \frac{\partial (ln(y))}{\partial (ln(A))}\)
Da \(ln(y) = ln(c) + x \cdot ln(A) + z \cdot ln(K) + w \cdot ln(E)\), ist die Ableitung von \(ln(y)\) nach \(ln(A)\) gerade \(x\), was konsistent ist mit dem Ergebnis aus Teil b).
