Binomischer Lehrsatz. Vollständige Induktion, Beweis einer Summenformel für (n+1 tief k+1)

Question

Achtung: Im Kommentar ist das Ganze noch in üblicherer Schreibweise zu lesen.

| steht für Zeilenumbruch, E für Summe, PI für Fakultät und  _ steht für das was unter der Summe / Fakultät steht.

 

Seien n, k natürliche Zahlen mit n>=k. Man beweise

 (n+1|k+1) = Eⁿ_{m=k} (m|k).

 

Induktionsanfang n=0 habe ich bereits gezeigt.

 

Induktionsschritt n->n+1

(n+1|k+1) = Eⁿ_{m=k} (m|k) ist wahr, ich muss zeigen, dass ((n+1)+1|k+1) = Eⁿ⁺¹ _{m=k} (m|k).

Eⁿ⁺¹_{m=k} (m|k) = Eⁿ_{m=k) + (m|n+1) (diese gleichheit ist trivial).

Aus einem anderem Satz weiß ich, dass ((n+1)+1|k+1) = (n+1|k) +(n+1|k+1). Wegen der Induktionsvoraussetzung weiß ich, dass Eⁿ_{m=k} = (n+1|k+1), ich muss also nur noch zeigen (m|n+1) = (n+1|k) um den Beweis zu beenden. Es ist m=k also (k|n+1)=(n+1|k). Ich muss also zeigen (a|b) = (b|a) für a>b>=0 und hier fängt mein Problem an, da diese gleichung (denke ich) nicht gilt, weil angenommen a=1 und b=0, dann haben wir

(1|0) = PI⁰_{j=1} ... = 1

(0|1) = PI¹_{j=1} ((0-j+1)/j) = 0/1 = 0 also (1|0) != (0|1).

 

Wo ist mein Fehler bzw. wie muss der richtige Ansatz sein?

Comments

Ich versuche mal zu interpretieren:

| steht für Zeilenumbruch,      entspricht 'tief' im Binomialkoeffizienten

E für Summe,        ∑ Summenzeichen

PI für Fakultät          !           Könnte aber auch das Produktzeichen ∏ sein.

und 

_ steht für das was unter der Summe / Fakultät steht.   _tiefgestellt

Bitte das nächste Mal den Ω-Knopf benutzen oder besser noch den Formeleditor. So sind deine Rechnungen fast nicht lesbar.

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Die Aufgabe lautet: Seien n, k natürliche Zahlen mit n≥k. Man beweise

(n+1|k+1) = ∑ⁿ_m=k (m|k).

Induktionsanfang: n = 0 bereits bewiesen.

Induktionsschritt: n->n+1

(n+1|k+1) = ∑ⁿ_m=k (m|k) ist wahr, ich muss zeigen, dass ((n+1)+1|k+1) = ∑ⁿ⁺¹_m=k (m|k).

∑ⁿ⁺¹_m=k (m|k) = ∑ⁿ_m=k (m|k) + (m|n+1) gleichung trivial

((n+1)+1|k+1) = (n+1|k) + (n+1|k+1) diese gleichung folgt aus einem anderen Satz.

Wegen der Induktionsvoraussetzung und habe ich (n+1|k+1) = ∑ⁿ_m=k (m|k). Da m = k, muss ich noch beweisen (k|n+1) = (n+1|k) also (a|b) = (b|a) für a>b≥0. Angenommen a=1 und b=0, dann habe ich

(1|0) = 1 und (0|1) = 0 also keine Gleichheit was irgendwie nicht sein kann...

Answer 1

Ich habe den Fehler gefunden und somit brauche ich keine Hilfe mehr.

Der Fehler war in dieser Zeile:

∑ⁿ⁺¹_m=k (m|k) = ∑ⁿ_m=k (m|k) + (m|n+1) gleichung trivial

Am Ende muss ...+ (n+1|k) stehen, da wir für m die Zahlen einsetzten.