Bestimmung von Nullstellen von f '(x) = x^2√(4-x^2) + (1/3)x^3*(-2x / (2√(4-x^2)))

Question

Um zu sehen in welchen Intervallen eine Funktion f monoton steigend ist, muss ich ja von f'(x) die Nullstellen bestimmen. 

f '(x) = x²√(4-x²) + (1/3)x³*(-2x / (2√(4-x²)))

Weiter gilt die Bedingung |x| ≤ 2

Wie rechnet man am einfachsten die Nullstellen aus? 

Comments

Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 ist. Versuch mal, ob du das auf einen Bruchstich bringst.

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Ich habe den Bruch so umgeformt, dass alles auf einem Bruchstrich ist. Weiter hätte ich jetzt Wurzel von 4-x² ausgeklammert und schliesslich eine Polynomdivision bei x² - (1/3)x³ durchgeführt. Würde dies so stimmen?

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Kürze erst mal in deinem Bruch rechts die 2 raus und verrechne das mit 1/3 x^3.

--> x^4 / (3√(4-x^2))

Nun den linken Teil auf den gleichen Nenner bringen:

x^2√(4-x^2) = 3x^2(4-x^2) / (3√(4-x^2))

Beides addiert gibt den Bruch

 

( 3x^2(4-x^2) - x^4) / (3√(4-x^2)).

Nun musst du nur noch den Zähler betrachten, um Kandidaten für die Nullstellen zu finden.

3x^2(4-x^2) - x^4 = 0

12x^2 - 3x^4 - x^4 = 0

12x^2 - 4x^4= 0

4x^2(3 - x^2) = 0

Eine Nullstelle ist sicher x = 0.

Weitere müsstest du in (3- x^2)=0 suchen.

x_2,3  = ±√3

Schau aber erst mal, ob ich mich da nicht verrechnet habe.

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Kürze erst mal in deinem Bruch rechts die 2 raus und verrechne das mit 1/3 x3.

--> x⁴ / (3√(4-x²))

Nun den linken Teil auf den gleichen Nenner bringen:

x²√(4-x²) = 3x²(4-x³) / (3√(4-x²))

 

-> bei diesem Schritt, wie kommen Sie auf x³ ? wenn man x²(√(4-x²))(3√(4-x²)) rechnet, fällt da nicht einfach die Wurzel weg und es würde 3x²(4-x²) geben?

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Ich glaube nicht :(

In den Lösungen sind die Nullstellen bei ± √3 , ±2, denn (was eigentlich gesucht ist) die Intervalle sind die folgenden:

f↑ [-√3, √3]
f↓ [-2, -√3] und [√3, 2]

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Na ja: Die Nullstellen der Ableitung hast du ja jetzt. -2 , 0 und 2 sind ja die Grenzen des Definitionsbereichs.

Da ergeben sich automatisch die Bereiche

[-√3, 0] und [0, √3]
[-2, -√3] und [√3, 2]

Nun musst du nur noch in jedem Bereich eine Zahl in die erste Ableitung einsetzen und feststellen, ob die Steigung dort pos. (steigend) oder neg. ist. Das gilt dann für das ganze Intervall.

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Ich verstehe, dass -2 und 2 die Grenzen sind und dass ich dann Zahlen einsetzen muss, um zu sehen ob f'(x) positiv ist oder negativ und dementsprechend f(x) steigt oder fällt. Doch mir ist ziemlich unklar wie du auf ±√3 kommst :)

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Kam ich ja gar nicht. Du hättest beim Nachrechnen den Vorzeichenfehler eigentlich finden sollen.

Jetzt kommt bei mir auch ±√3 raus. Korrektur ist rot.

Answer 1

f'(x) = x^2·√(4 - x^2) + 1/3·x^3·(- 2·x/(2·√(4 - x^2)))

Ich bringe das auf einen Bruchstrich

f'(x) = x^2·(12 - 4·x^2)/(3·√(4 - x^2))

Der Bruch ist Null wenn der Zähler Null ist.

x^2·(12 - 4·x^2) = 0

Ein Produkt ist Null wenn ein Faktor Null ist

x = 0

12 - 4·x^2 = 0
4·x^2 = 12
x^2 = 3
x = ±√3

Skizze

Comments

Sehe ich dies richtig, dass Sie nur den Zähler der "linken Seite" = 0 gesetzt haben?

Also: x²(12-3x²) = 0? Oder habe ich Ihren Verrechnungsschritt mit der rechten Seite übersehen?

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Das siehst du richtig. Ein Bruch a/b ist null wenn der Zähler a null ist. Das ist unabhängig vom Nenner b, denn der muss ja immer ungleich null sein.