Bedeutung der 2. Ableitung

Question

Könnte ne jemand diesen Abschnitt nochmal erklären? Irgendwie verstehe ich das nicht.

Damit der Graph einer Funktion f in einem Intervall linksgekrümmt ist, muss die zweite Ableitung aber nicht im gesamten Intervall positiv sein. Folgendes Beidpiel zeigt, dass der Graph auch linksgekrümmt in einem Intervall sein kann, wenn es Stellen gibt, wo die zweite Ableitung null wird. Der Graph der Funktion f(x)=x^4 ist linksgekrümmt, da die Ableitung f‘ mit f‘(x)=4x^3 streng monoton zunehmend ist.

f‘‘ mit f“(x)=12x^2 ist aber nicht für alle x aus R positiv, denn es gilt: f“(0)=0

Comments

Ist deine Frage noch relevant? Geht es immer noch um deinen Terrassenpunkt?

Ich habe gerade hier https://www.mathelounge.de/579419/graph-der-ersten-ableitung-analysieren-wendepunkt eine Antwort geschrieben.

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Vielen Dank, damit habe ich den ersten Teil gerade schonmal verstanden!!

Answer 1

Was hast du denn daran nicht verstanden? Dann kann man auf das speziell eingehen.

Comments

Danke für die Hilfe! Ja also ich verstehe noch nicht warum man, dass der Graph f(x)= x^4 linksgekrümmt ist damit begründen kann, dass die erse Ableitung f'  mit f'(x)= 4^3  streng monoton zunehmen ist.

Also wieso begründet das das?

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Es gilt eigentlich die Regel

f''(x) > 0 --> der Graph von f ist linksgekrümmt.

f''(x) ist aber die Steigung des Graphen von f'(x) an der Stelle x. Dann bedeutet f''(x) > 0 das der Graph von f'(x) überall eine positive Steigung hat.

Nun kann es dabei auch einen vereinzelnten Punkt geben wo die momentane Steigung 0 ist und trotzdem ist die Funktion streng monoton steigend.

So z.B.

f(x) = x^3

Diese Funktion ist streng monoton steigend, hat aber einen einzelnen Punkt an der Stelle 0 wo die Ableitung gleich 0 ist.

Genauer muss es also lauten

Damit der Graph einer Funktion in einem Intervall linksgekrümmt ist muss die Abteitung streng monoton steigend sein.

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Ahh okay vielen Dank für die Mühe ich glaube jetzt habe ich es verstanden!