Injektivität, Surjektivität wenn f surjektiv und g o f injektiv sind, dann ist g injektiv

Question

ich bin ersti und habe eine Hausaufgabe welche so lautet:

Es seien A,B,C Mengen und f: A-> B sowie g: B-> C Abbildungen. Zeigen Sie:

Wenn f surjektiv und g o f injektiv sind, dann ist g injektiv.

Ich habe bisher Allquantor b,b'  element von B, (g(b) = g(b') impliziert b=b'

Drauf hab ich eine Kontraposition abgewendet

Existquantor b,b' element B: g(b) =g(b') und b ungleich b'

Ab da weiß ich nicht weiter.

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Vielen Dank

Answer 1

Zum Nachweis von " g ist Injektiv " kannst du so vrogehen:

Seien y und z Elemente von B mit

g(y) = g(z) .

Dann musst du zeigen, dass daraus y=z folgt.

Das könnte so gehen:

Da f surjektiv ist, gibt es a und b aus A mit f(a) = y und f(b) = z .

==>  g(f(a)) = g(f(b)) und weil gof Injektiv ist,

folgt hieraus  a=b.

Da f eine Abbildung ist, folgt hieraus f(a) = f(b) ,

also  y = z .    q.e.d.