Wie kommt man von der Parameterform in die Normalform im R2?

Question

da bald die Schularbeit in Mathe ansteht, bin ich meine Aufzeichnungen durchgegangen und habe bemerkt, dass ich nicht mehr verstehe, wie man im R2 von der Parameter, in die Normalform kommt. Umgekehrt leider genau so...

Hier eines der Beispiele:

(X/Y)=(2/-1)+A*(1/2)

Dass Ergebnis, soll Y=2x-5 sein. Wie komme ich auf jenes? Ich weiß leider nur noch, dass man die Gleichung, bei X und Y "teilen" muss und dann am Ende wieder zusammenadieren soll.

Im Internet fand ich leider auch nichts dazu...

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!

Danke

Answer 1

[x, y] = [2, -1] + a·[1, 2]

Wir nehmen den zum Vektor [1, 2] senkrechten Vektor (Normalenvektor) [2, -1]

Dann nehmen wir den Rest der Gleichung und multiplizieren beide Seiten mit dem Normalenvektor.

[x, y] * [2, -1] = [2, -1] * [2, -1]
2x - y = 5

In der Vektorrechnung ist das meiner Meinung nach die schnellste Lösung.

Comments

:Facepalm: Ok, Danke. Das hier der Normalvektor genommen wird, habe ich vollkommen übersehen.

Schönen Tag noch!

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Eine andere Lösung die Du meintest 

[x, y] = [2, -1] + a·[1, 2]

Wir teilen das in obere und untere Gleichung

x = 2 + a
y = -1 + 2a

Wir lösen beide nach a auf

a = x - 2
a = y/2 + 1/2

Und jetzt setzen wir a gleich und kicken es heraus. Man hätte auch das Additionsverfahren anwenden können.

x - 2 = y/2 + 1/2
2x - 4 = y + 1
2x - y = 5

Answer 2

 

setze doch einmal A = 1 und ein anderes Mal A = 2

A = 1:

x = 3; y = 1

P₁ = (3|1)

A = 2: 

x = 4; y = 3

P₂ = (4|3)

Geradengleichung allgemein: y = mx + b

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (3 - 1) / (4 - 3) = 2

Wenn Du jetzt noch A = -2 setzt, erhältst Du

(x|y) = (2|-1) - 2 * (1|2) = (0|-5)

-5 ist dann der y-Achsenabschnitt

Daher: 

y = 2x - 5

Besten Gruß

P.S. Man hätte sich A = 2 schenken können und direkt A = -2 setzen können: Ein Schritt gespart :-)

Comments

Bedeutet das, dass ich für A, einfach die Zahlen, eines allgemeinen Punktes, auf der Geraden einsetze?

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(1|2) ist ja der Richtungsvektor aus Deiner Parameterdarstellung; Du kannst ihn mit jeder beliebigen reellen Zahl multiplizieren und erhältst dann - nach Addition des Stützvektors (2|-1) - einen Punkt auf der Geraden.
Die Lösung vom Mathecoach ist aber effizienter als meine :-)