Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebenen sowie Parameterform?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebenen \( E_{1} \) gegeben durch \( 2 x-3 y+z=4 \) und \( E_{2} \)
$$ \text { durch } \vec{e}(s, t)=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {-1} \end{array}\right) $$
gegeben durch Geben Sie eine Parametersarstellung der Ebene \( E_{1} \) an.

Answer 1

Wir wandeln uns die zweite Ebene auch in eine Koordinatenform um

[-1, 0, 2] X [1, 1, -1] = [-2, 1, -1]

x * [-2, 1, -1] = [-1, 2, 1] * [-2, 1, -1]

-2x + y - z = 3

Nun suchen wir die Schnittgerade mit

2x - 3y + z = 4

Die Schnittgerade verläuft orthogonal zu beiden Normalenvektoren der Ebenen. Daher bilde ich hier das Kreuzprodukt.

[-2, 1, -1] X [2, -3, 1] = [-2, 0, 4] = 2 * [-1, 0, 2]

Nun brauche ich noch einen Punkt der Geraden. Den erhalte ich wenn ich in beiden Ebenengleichungen z = 0 setze und das entstehende LGS löse.

-2x + y = 3
2x - 3y = 4

Lösung ist hier x = -3,25 und y = -3,5

Also lautet eine Geradengleichung z:B.

g: x = [-3.25, -3.5, 0] + r * [-1, 0, 2]

Eine Parameterdarstellung der Ebene E1 erhalten wir wenn wir uns 3 Koorninaten ausdenken, die in der Ebene liegen. Dazu setze ich paarweise xy, xz und yz auf Null. Ich erhalte die Punkte:

2x - 3y + z = 4

[2, 0, 0], [0, -4/3, 0], [0, 0, 4] 

Nun stelle ich eine Parameterform über diese drei Punkte auf

E: x = [2, 0, 0] + r * [-2, -4/3, 0] + s * [-2, 0, 4]

Answer 2

Zur Schnittgeraden:

1) E2 in 3 Reihen aufspalten

2) x1 = -1 -s +t // x2 = 2 + t  // x3 = 1 + 2s -t

3) 3 Reihen in E1 einsetzen  >> Parameter ausrechnen >> t = 5.5

4) t in E2 einsetzen  >> Zusammenfassen >> Schnittgerade berechnet

Zur Ebene E1 in Parameterform:

1) Spurpunkte der Ebene mit den Achsen berechnen, dazu wenn z.B. x1 gesucht ist x2 und x3 = 0 setzen

2) Ergibt 3 Punkte A,B und C

3) Ebenengleichung: Vektor x = 0A + r*AB + s*AC