Untersuchung von Abbildungen auf Bijektivität: Bsp. f: R -> R, f(x):= x^2 + x +1

Question

Ich habe zwei fragen an euch die meine Hausaufbagen betreffen. Ich bitte euch nicht meine Aufgaben vorzurechen sondern nur darum  in der ersten frage meine Schlussfolgerung zu bestätigen bzw. zu korrigieren und in der zweiten Frage mir bei den Ansätzen zu helfen.:

1) Die erste wäre zu wissen ob ich die folgende funktionen richtig nach bijektivtät untersucht habe oder nicht bzw. auf die Richtige Schlussfolgerung gekommen bin oder nicht?:

$$f1: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}+x+1 \\ f2:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}, x \mapsto x^{2}+x+1 \\ \text{ Meine vorgehensweise ist erstmal nach x umzuformen } \\ x^{2}+x+1=y \\ 4x^{2}+4x+4=4y \\ 4x^{2}+4x+1+3=4y \\ (2x+1)^{2}+3=4y \\ 2x+1+\sqrt{3} =2*\sqrt{y} \\ x=\frac{2*\sqrt{y}-1-\sqrt{3}}{2} \\ x= \sqrt{y}-0.5-0.5*\sqrt{3} \\ x^{2}=y+0.25+0.75 \\ x^{2}= y+1 \\ x= \sqrt{y}+\sqrt{1} \\ x=\pm \sqrt{y}+1$$

Für f1 ist die Funktion nicht bijektiv, da sie nicht injektiv ist, weil für unterschiedliche y das gleiche x rauskommt. F1 ist dennoch surjektiv weil alle elemente einsetzbar sind. (Ich vermute diese Eigenschaft würde nicht zu treffen z.B wenn in R gerechnet wird und eine negative wurzel entstehen würde, anhand meine aufgabe)

f.2 hingegen ist bijektiv, weil abgesehen von der surjektivtät der Wertebereich in den Näturlichen Zahlen liegt sodass wenn man diesen Wertebereich einsetzen würde man das minus weglässt und somit folgendes entstehen würde :

$$x=+ \sqrt{y}+1$$

Das ergebnis wäre dann immer in den natürlichen Zahlen und somit hätte jedes x  ein y und dies zusammen mit der surjektivität erfüllt somit die Bedinungen für die Bijiktivität.

Falls meine Schlussfolgerung zutreffen entnehme ich für die Zukunft, dass falls solche fragestellung aufkommen ich immer nach x umforme und falls die Gleichung nicht lösbar ist (zb. negative wurzel  in den R oder durch 0 teilen), bedeutet abbildung nicht surjektiv. Falls zwei mögliche Lösung rauskommen, dann nicht injektiv.

2) Meine zweite Frage wie muss ich hier bei den folgenden Abbildungen anfangen soll und wie ich an die Sache ranzugehen  bzw. was ich beachten soll?:

$$f3: [1,2] \times [1,2,3]\rightarrow [1,2,3,4,5,6]\subset \mathbb{R},(a,b)\mapsto 3(a-1)+b$$

f3: Habe ehrlich gesagt kein plan was ich hier machen muss...

$$f4: \mathbb{R}\setminus[-3]\rightarrow \mathbb{R}\setminus[2], x \mapsto \frac{2x+5}{x+3}$$

f4: Meine Vermutung ist die Aufgabe genauso zu lösen wie f1 mit der Bedinung, dass ich bei der y seite keine -3 haben darf bzw. erweitern und bei der x seite um keine 2 erweitern bzw. haben darf?

$$f5: \mathbb{R^{2}}\rightarrow \mathbb{R^{2}},(x_{1},x_{2})\mapsto (2x_{1}+5x_{2},x_{1}+3x_{2})$$

f5: Meine Vermutung ist die Aufgabe genauso zu lösen wie f1 nur dass ich sie einmal für x1 und x2 umformen muss
und die bedinungen für bijektivität müssen von beiden gleichungen erfüllt werden?

Comments

Eine Methode besteht in der Tat darin, die Gleichung \(f(x)=y\) nach \(x\) aufzuloesen. Wenn man zu jedem \(y\) hoechstens ein \(x\) findet, ist \(f\) injektiv, und wenn man zu jedem \(y\) mindestens ein \(x\) findet, ist \(f\) surjektiv.

Der Rest kann nicht stimmen, denn Du hast mindestens zwei Mal \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) gerechnet. Das stimmt auch dieses Semester nicht.

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Ok ich korregiere dann:

$$\\ x^{2}+x+1=y \\ x^{2}+x+(\frac{1}{2})^{2} =y-1+(\frac{1}{2})^{2} \\(x+\frac{1}{2})^{2} = y-0.75 \\ x+\frac{1}{2}= \sqrt{y-0.75} \\ x=\pm \sqrt{y-0.75}-0.5$$

Die Schlussfolgerung wäre dann, dass f1 nicht injenktiv ist zusätzlich wäre f1 auch nicht surjektiv für y<0.75 eine negative Zahl in der Wurzel rauskommen würde, was in R nicht möglich somit, gäbe es für einige y kein zugeordneten x wert?

Wäre jetzt f2 in diesem fall dann genauso auch nicht injenktiv? Da man obwohl für y eine ganze positive Zahl einsetzen würde, das ergebnis entweder negativ wäre zb. wenn man 1 einsetzt oder eine rationale Zahl rauskommen würde, was laut der Definitionsmenge (natürliche Zahlen nicht möglicht ist? Surjektivität würde dann also auch nicht gelten, aus den gleiche grund?

ODER wäre die Funktion bijektiv, da für jedes x ein y rauskommt wegen der Definitionsmenge der natürlichen Zahlen und weil wegen den Definitionsmenge der natürlichen Zahlen in der Wurzel keine negative Zahl entstehen kann bzw. kein y<0.75 und somit gibt es kein y wert welchen kein x wert zugeordnet wird???

Könntest du mir dann auch bitte erklären was ich bei den anderen funktionen beachten soll nachdem ich nach x umgeformt habe bzw. ein Ansatz liefern?

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Bei \(f_2(x)=y\) kommen natuerlich nur \(x,y\in\mathbb{N}\) infrage, da \(f_2:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\). Das schliesst das negative Vorzeichen vor der Wurzel in \(x=\pm\sqrt{y-3/4}-1/2\) aus. Zu jedem \(y\in\mathbb{N}\) gibt es dann hoechstens eine Lösung \(x\in\mathbb{N}\). Also ist \(f_2\) injektiv. Fuer \(y=2\) gibt es keine Lösung \(x\in\mathbb{N}\). Also ist \(f_2\) nicht surjektiv.

Bei \(f_3\) gibt es ueberhaupt nur sechs Werte im Definitionsbereich. Du machst eine Tabelle für die Funktion. Da siehst Du dann, ob alle Werte aus dem Bildbereich auch vorkommen, bzw. ob welche mehrfach vorkommen.

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Ich möchte mich entschuldigen, ich habe nicht gesehen,dass du hier schon geantwortet hast.

Für f3 muss ich also folgendes machen?:

$$[1,2] \times [1,2,3]\rightarrow [1,2,3,4,5,6]\subset \mathbb{R} \\ (1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3)\rightarrow [1,2,3,4,5,6]\subset \mathbb{R}$$

Man kan also sehen dass folgende Elemente kein Urbild haben, somit nicht surjektiv
$$f^{-1}([4,5,6])=\emptyset$$

Und zb. folgende für verschiedene werte mehrere Urbilder haben, somit nicht injektiv
$$f(1)=1  \vee f(1)=2 \vee f(1)=3  $$

Es reicht also in diesem Fall die Defintionsmenge zu betrachten und man die Abildung selbst nicht betrachten muss???

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Weisst Du nicht, wie man eine Wertetabelle für eine Funktion macht? In eine Zeile kommen die Argumente (a,b) (das sind hier Paare von Zahlen) und in die zweite die Funktionswerte f(a,b).

(a,b)	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(2,1)	(2,2)	(2,3)
f(a,b)	?	?	?	?	?	?

Kannst Du die Luecken hier fuellen?

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Also die Paare in die funktion einsetzen?

(1,1) -> 1

(1,2) -> 2

(1,3)-> 3

(2,1) -> 4

(2,2) -> 5

(2,3) -> 6

Jede menge wird höchsten einmal abgebildet und jede menge hat ein Urbild. Heißt die Abbildung ist injektiv, surjektiv Q.E.D Bijektiv?

Was wäre eine Umkehrfunktion in diesem Fall?

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1) Es wird ueberhaupt alles nur einmal abgebildet, das machen Funktionen generell so.

2) Die Funktionsargumente sind hier keine Mengen, sondern geordnete Paare.

3) Die Funktion ist surjektiv, weil alle Elemente der Wertemenge als Funktionswerte vorkommen.

4) Die Funktion ist injektiv, weil kein Element der Wertemenge für mehr als ein Element des Definitionsbereichs als Funktionswert auftaucht.

5) Die Funktion ist bijektiv wegen 3) und 4). In Worten: Jedes Element der Wertemenge wird für genau ein Element der Definitionsmenge als Funktionswert angenommen.

Was wäre eine Umkehrfunktion in diesem Fall?

Na was wohl. Eine Bijektion ist eine 1:1-Abildung zwischen Definitionsmenge und Wertemenge.

(1,1) -> 1

(1,2) -> 2

(1,3)-> 3

(2,1) -> 4

(2,2) -> 5

(2,3) -> 6

Drehe die Pfeile einfach um.

Answer 1

Du hast an einigen Stellen falsch umgeformt ( siehe Kommentar).

Injektivität kannst du aber - wie ich finde leichter - untersuchen

durch :   Seien a,b aus ℝ mit

f(a) = f(b)

a^2 + a +1 = b^2 + b + 1

(a+0,5)^2 + 3/4  = ( b+0,5) ^2 + 3/4

(a+0,5)^2   = ( b+0,5) ^2

und hier siehst du schnell (weil z.B.  1^2 = (-1)^2 ist,

dass dies für unterschiedliche a,b erfüllt sein kann, etwa

a=0,5 und b=-1,5.  Also nicht Injektiv.

Auch ist F1 nicht surjektiv, da bei (a+0,5)^2 + 3/4

 nur Werte rauskommen, die größer oder gleich 3/4 sind,

also wird z.B. 0 nicht erreicht.

Wenn es von ℕ nach ℕ betrachtet wird, ist das a+0,5 in der

Klammer immer positiv, also folgt immer

a+0,5 = b+0,5 , also a=b .

Damit ist es Injektiv.

Allerdings nicht surjektiv, denn wenn z.B. 2 rauskommen soll,

müsste   (a+0,5)^2 + 3/4 = 2 sein, also

                      (a+0,5)^2 = 5/4

Das hat aber keine natürliche Zahl als Lösung.

Comments

Vielen Dank für die Antwort:

Ich korregiere meine Gleichung wie folgt:

$$\\ x^{2}+x+1=y \\ x^{2}+x+(\frac{1}{2})^{2} =y-1+(\frac{1}{2})^{2} \\(x+\frac{1}{2})^{2} = y-0.75 \\ x+\frac{1}{2}= \sqrt{y-0.75} \\ x=\pm \sqrt{y-0.75}-0.5$$

Für reelle Zahlen gilt also anhand der Rechnung von f1 :

1) ist keine lösung möglich, dann nicht surjektiv

2) gibt es 2 oder mehr lösungen dann nicht injenktiv

3) genau eine Lösung, dann bijektiv

Verstehe ich richtig, dass für die 2 funktion injektivität gilt es egal ob keine natürliche Zahl rauskommt, sondern nur die Eigenschaft benutzt wird, dass es nur höchstens ein y wert gibt pro x wert.

Bei Surjektivität ist es aber dann wichtig, dass eine Natürliche Zahl rauskommt?

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Könntest du mir bitte noch sagen, was ich bei den funktionen 3,4,5 anhand der Definitionsmenge beachten soll nachdem ich sie umgeformt habe und ob meine Vermutung an die Vorgehensweise zutreffen oder nicht?